Lokalna kwantowa teoria pola

Lokalna kwantowa teoria pola, algebraiczna kwantowa teoria pola – sformułowanie kwantowej teorii pola, w którym podstawowymi obiektami są *-algebry stowarzyszone z otwartymi podzbiorami czasoprzestrzeni spełniającymi pewne własności. Pierwotna wersja tej teorii obowiązująca jedynie w płaskiej przestrzeni została przedstawiona przez Haaga i Kastlera w 1964 roku. Obecnie podejście to stosuje się do dowolnej globalnie hiperbolicznej rozmaitości pseudoriemannowskiej.

Definicja

Współcześnie lokalną (kowariantną) kwantową teorię pola deinuje się wykorzystując język teorii kategorii. Kluczową rolę odgrywają kategorie ${\mathfrak {Man}}$ oraz ${\mathfrak {Alg}}.$ Kategoria ${\mathfrak {Man}}$ składa się z klasy obiektów $Obj({\mathfrak {Man}}),$ do której należą wszystkie globalnie hiperboliczne, zorientowane, czasowo zorientowane pseudoriemannowskie czasoprzestrzenie $(M,g).$ Dla dowolnych dwóch obiektów $(M_{1},g_{1})$ oraz $(M_{2},g_{2}),$ klasa morfizmów $hom_{\mathfrak {Man}}((M_{1},g_{1}),(M_{2},g_{2}))$ składa się z izometrycznych zanurzeń $\psi :(M_{1},g_{1})\rightarrow (M_{2},g_{2}),$ która spełnia ponadto następujące warunki:

dowolna krzywa kauzalna w $(M_{2},g_{2}),$ której końce są obrazami punktów z $M_{1}$ względem morfizmu $\psi ,$ jest obrazem pewnej krzywej kauzalnej w $(M_{1},g_{1}),$
$\psi$ zachowuje orientację i orientację czasową.

Klasą obiektów $Obj({\mathfrak {Alg}})$ są unitalne *-algebry, natomiast morfizmami w tej kategorii są wierne *-homomorfimzy zachowujące identyczność.

Lokalną (kowariantną) kwantową teorią pola nazywamy funktor kowariantny ${\mathcal {A}}$ pomiędzy kategoriami ${\mathfrak {Man}}$ oraz ${\mathfrak {Alg}}.$ Warunek kowariantności oznacza, że dla dowolnych morfizmów $\psi _{1}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{1},g_{1}),(M_{2},g_{2}))$ oraz $\psi _{2}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{2},g_{2}),(M_{3},g_{3}))$ zachodzą następujące równości: $\alpha _{\psi _{1}}\otimes \alpha _{\psi _{2}}=\alpha _{\psi _{1}\otimes \psi _{2}},$ $\alpha _{id_{(M,g)}}=id_{{\mathcal {A}}(M,g)},$ gdzie $\alpha _{\psi }$ oznacza ${\mathcal {A}}_{\psi }.$

Lokalna (kowariantna) kwantowa teoria pola określona przez funktor ${\mathcal {A}}$ nazywana jest przyczynową wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych morfizmów $\psi _{j}\in hom_{\mathfrak {Man}}((M_{j},g_{j}),(M,g)),~j=1,2,$ takich, że $\psi (M_{1})$ oraz $\psi (M_{2})$ są przyczynowo rozdzielone zachodzi:

[\alpha _{\psi _{1}}({\mathcal {A}}((M_{1},g_{1}))),\alpha _{\psi _{2}}({\mathcal {A}}((M_{2},g_{2})))]=0,

gdzie $[A,B]=\{ab-ba:a\in A,b\in B\}.$

Lokalna (kowariantna) teoria pola określona przez funktor ${\mathcal {A}}$ spełnia aksjomat ewolucji wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha _{\psi }({\mathcal {A}}(M,g))={\mathcal {A}}(M',g')$ dla dowolnego $\psi \in hom_{\mathfrak {Man}}((M,g),(M',g')),$ takiego, że $\psi (M)$ zawiera powierzchnię Cauchy’ego dla $(M',g').$

Zastosowania

Lokalna kwantowa teoria pola jest uniwersalnym językiem, który pozwala na precyzyjny opis efektów kwantowych zachodzących w płaskiej lub zakrzywionej czasoprzestrzeni. Najbardziej znaną klasą modeli, dających się sformułować w tym języku są tzw. swobodne kwantowe teorie pola. Podejście to stosuje się również do oddziałujących kwantowych teorii pola, jednak, jak dotąd, są one zdefiniowane jedynie formalnie. Jest ono szczególnie użyteczne w przypadku kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Bibliografia

Haag, Kastler. An algebraic approach to quantum field theory. „Journal of Mathematical Physics”. 5, s. 848–861, 1964.
Brunetti, Fredenhagen, Verch. The generally covariant locality principle – A new paradigm for local quantum field theory. „Communications in mathematical physics”. 237 (1), s. 31–68, 2003.
Haag: Local quantum physics. Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1992.