Płaski stan naprężenia

Płaski stan naprężenia – stan, w którym na wszystkich płaszczyznach przekrojów o tej samej normalnej zewnętrznej ${\vec {n}}$ naprężenia są równe zeru. Najprostszym przykładem takiego stanu jest cienka tarcza, o grubości h, obciążona na swym konturze siłami działającymi w jej płaszczyźnie środkowej $(\mathbf {x} _{3}=0).$ Powierzchnie ograniczające tarczę ($\mathbf {x} _{3}=\pm$ h/2) są wolne od naprężeń.

W płaskim stanie naprężenia niezmienniki tego stanu wyrażają się wzorami:

$I_{1}=\sigma _{11}+\sigma _{22},$

$I_{2}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}},$

$I_{3}=0,$

a równanie charakterystyczne, służące do obliczania wartości naprężeń głównych przybiera postać

$\sigma ^{3}-(\sigma _{11}+\sigma _{22})\sigma ^{2}+(\sigma _{11}\sigma _{22}-\sigma _{12}^{2})\sigma =0.$

Pierwiastkami tego równania są

$\sigma _{1,2}={\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{11}-\sigma _{22}}{2}}\right)^{2}+\sigma _{12}^{2}}}.$