Punkt Fermata

Punkt Fermata (punkt Torricellego) – punkt w trójkącie, którego suma odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza z możliwych. Pierwszy raz problem konstrukcji takiego punktu został rozwiązany przez Fermata w prywatnym liście.

Konstrukcja punktu Fermata

Konstrukcja

W przypadku, gdy wszystkie kąty trójkąta mają miary mniejsze niż $120^{\circ },$ punkt Fermata jest punktem przecięcia odcinków łączących wierzchołki trójkąta z tymi wierzchołkami trójkątów równobocznych zbudowanych na przeciwległych bokach, które nie są wierzchołkami wyjściowego trójkąta.

Gdy jeden z kątów ma miarę co najmniej $120^{\circ },$ łatwo zauważyć (z nierówności trójkąta), że wierzchołek przy kącie rozwartym ma mniejszą sumę odległości od wierzchołków, niż punkt otrzymany w powyższej konstrukcji. Wierzchołek ten ma wtedy najmniejszą możliwą z takich sum.

Dowód

Dla dowolnego punktu $F$ wewnątrz $\Delta ABC,$ gdy obrócimy $\Delta BFC$ wokół punktu $B$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt $60^{\circ },$ to otrzymamy $\Delta BGD$ (według oznaczeń na rysunku obok), gdzie $G$ jest punktem wewnątrz $\Delta BCD$ spełniającym

$|GD|=|FC|,$ $|GB|=|FB|$ oraz $\angle FBG=60^{\circ },$

więc $\Delta GBF$ jest równoboczny, czyli $|BF|=|GF|.$

Stąd $|AF|+|BF|+|CF|=|AF|+|FG|+|GD|.$ Zatem wartość sumy $|AF|+|BF|+|CF|$ najmniejsza, gdy punkty $A,$ $F,$ $G,$ $D$ są współliniowe.

Prowadząc analogiczne rozumowanie, obracając $\Delta CFA$ i $\Delta AFB$ wokół odpowiednich punktów, otrzymujemy, że punkt $F$ o minimalnej wartości sumy $|AF|+|BF|+|CF|$ leży na pozostałych dwóch odcinkach łączących wierzchołki trójkąta wyjściowego z odpowiednimi wierzchołkami trójkątów równobocznych. Jest to jednocześnie dowód na współpękowość tych trzech odcinków.

Właściwości

• Punkt Fermata jest jednocześnie punktem przecięcia okręgów opisanych na trójkątach równobocznych zbudowanych na bokach danego trójkąta.
• Z punktu Fermata każdy bok widać pod tym samym kątem $120^{\circ }.$
• Odcinki zaznaczone na górnym rysunku na czerwono mają równe długości.

Dowód

Oznaczenia jak na najniższym rysunku. Gdy obrócimy $\Delta BAQ$ wokół punktu $A$ zgodnie z ruchem wskazówek zegara o kąt $60^{\circ },$ to otrzymamy $\Delta RAC.$ Stąd $|BQ|=|CR|.$ Analogicznie $|BQ|=|AP|=|CR|.$

Z przystawania tych trójkątów wynika też, że $\angle ARC=\angle ABQ,$ oraz $\angle ACR=\angle AQB.$ Stąd

$\angle RFB=180^{\circ }-\angle FRB-\angle FBR=60^{\circ }.$

Podobnie $\angle RFA=\angle AFQ=\angle QFC=\angle CFP=\angle PFB=60^{\circ }$

Zatem $\angle AFB=\angle AFC=120^{\circ },$ czyli sumy przeciwległych kątów w tych czworokątach wynoszą $180^{\circ }.$ Stąd na czworokątach $AFBR$ oraz $AFCQ$ można opisać okręgi. Podobnie pokazujemy, że przez punkt Fermata przechodzi okrąg opisany na $\Delta BCP.$

Zobacz też

• twierdzenie Napoleona
• drzewo Steinera

Linki zewnętrzne

• Punkt Fermata-Torricellego czyli ciekawy problem lokalizacji, blog beta-iks.pl, 10 lutego 2024 [dostęp 2024-03-03].