Reguła 72

Reguła 72 i Reguła 70 – reguły pozwalające aproksymować czas, który jest potrzebny by kapitał podwoił swą wartość (przy założeniu procentu składanego). Należy wówczas liczbę 70 (lub 72) podzielić przez wysokość rocznej stopy procentowej (wyrażonej w procentach). Reguła 70 pozwala na dobre przybliżenie dla niskich stóp procentowych (1–5%), podczas gdy dla wysokich stóp (5–10%) lepsze przybliżenie daje reguła 72.

Przykład

Obliczymy czas, jaki jest potrzebny by kapitał podwoił swą wartość przy stopie procentowej równej 2%. Czas, który jest potrzebny to $t={\frac {70}{2}}=35$ lat.

Wyprowadzenie

Dokładny wzór:

$t(r)=\log _{1+r}2={\frac {\ln {2}}{\ln(1+r)}},$

gdzie $r={\frac {R}{100}}=R\%$ to stopa procentowa.

Stąd:

${\frac {1}{t(r)}}={\frac {\ln \left(1+r\right)}{\ln {2}}}.$

Stosując interpolację liniową funkcji ${\tfrac {1}{t(r)}}$ z węzłami w punktach 0 i $r_{0},$ dostajemy:

${\frac {1}{t(r)}}\approx {\frac {\ln \left(1+r_{0}\right)}{r_{0}\ln {2}}}r,$

czyli:

$t(r)\approx {\frac {r_{0}\ln {2}}{r\ln(1+r_{0})}}.$

Dla $r_{0}=2\%$ dostajemy:

$t(r)\approx {\frac {0{,}7000558}{r}}\approx {\frac {70}{R}}.$

Dla $r_{0}=8\%$ dostajemy:

$t(r)\approx {\frac {0{,}7205174}{r}}\approx {\frac {72}{R}}.$

Ponieważ interpolacja jest najdokładniejsza w węzłach, więc reguła 70 daje najdokładniejsze wyniki w okolicach stopy 2%, a reguła 72 w okolicach stopy 8%.