Rekurencyjna metoda NK

Wstęp i oznaczeniaEdytuj

Algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów (WRMNK) został wyprowadzony dla obiektu typu ARX, którego postać przytacza się dla wygody:

 

Zakłada się, że znany jest ciąg wejść obiektu   oraz ciąg wyjść obiektu   natomiast sekwencja białego szumu, modelującego zakłócenie sprowadzone na wyjście obiektu   jest nieznana.

Niech   oznacza wektor nieznanych parametrów obiektu:

 

Niech   oznacza wektor zawierający oszacowania (estymaty) tych parametrów w chwili   oraz niech   oznacza wektor zawierający próbki wejść i wyjść odpowiadające tym parametrom (zwany wektorem regresyjnym):

 

Niech ponadto wskaźnik jakości będzie dany jako:

 

gdzie   zwany jest współczynnikiem ważenia lub zapominania, a   zwany jest błędem predykcji jednokrokowej.

Algorytm WRMNKEdytuj

Algorytmem, który minimalizuje tak zdefiniowany wskaźnik jakości, jest algorytm ważonej rekurencyjnej metody najmniejszych kwadratów, dany wzorem:

 

gdzie   zwany jest wektorem wzmocnienia i liczony jest zgodnie z zależnością:

 

Użyta w powyższym wzorze macierz   zwana jest macierzą kowariancji. Podstawową zależnością pozwalającą na rekurencyjne wyznaczania tej macierzy jest równanie:

 

Ponieważ jednak zastosowanie powyższego wzoru wiązałoby się z koniecznością odwracania macierzy, algorytm byłby niezwykle skomplikowany w implementacji i potencjalnie niestabilny numerycznie. Na szczęście udało się wyprowadzić zależność rekurencyjną pozwalającą na aktualizację macierzy kowariancji z pominięciem odwracania macierzy, która jest dana zależnością:

 

Warunek początkowyEdytuj

Warunek początkowy dla macierzy kowariancji dany jest wzorem:

 

gdzie   jest pewną, dużą wartością dodatnią (np. 1000).

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

W przypadku, gdy   o metodzie mówi się, że jest bez ważenia (czyli jest to RMNK). Tak sparametryzowana metoda nie nadaje się do identyfikacji obiektów niestacjonarnych (czyli takich, których parametry zmieniają się w czasie), gdyż w macierzy   pamiętana jest cała historia zmian wejścia i wyjścia obiektu. W przypadku identyfikacji obiektów niestacjonarnych zazwyczaj wartość parametru   ustala się na nieco mniejszą od jedności (na przykład 0,99).

BibliografiaEdytuj

  • Dariusz Bismor: Adaptive Algorithms for Active Noise Control in an Acoustic Duct. Gliwice: Studio Komputerowe Jacka Skalmierskiego, 1999.