Funkcja monotoniczna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Ciągi monotoniczne: nie rozumiem |
m drobne techniczne, WP:SK |
||
Linia 2:
'''Funkcja monotoniczna''' w pewnym przedziale – [[funkcja (matematyka)|funkcja]] niemalejąca lub nierosnąca w pewnym przedziale.
* '''funkcja malejąca''' to taka funkcja <math>f:\mathbb A \to \mathbb B</math>, że <math>\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)).</math>
* '''funkcja rosnąca''' to taka funkcja <math>f:\mathbb A \to \mathbb B</math>, że <math>\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)).</math>
* '''funkcja niemalejąca''' to taka funkcja <math>f:\mathbb A \to \mathbb B</math>, że <math>\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \
* '''funkcja nierosnąca''' to taka funkcja <math>f:\mathbb A \to \mathbb B</math>, że <math>\forall a_1, a_2 \in \mathbb A (a_1 > a_2 \implies f(a_1) \
* '''funkcja monotoniczna''' jest to funkcja niemalejąca lub nierosnąca.
* '''funkcja silnie (ściśle) monotoniczna''' jest to funkcja malejąca lub rosnąca. Czyli <math>\left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) > f(a_2)\right)</math> <math> \or \left(\forall a_1,a_2 \in \mathbb A . a_1 > a_2 \implies f(a_1) < f(a_2)\right).</math>
* '''funkcja stała''' to taka funkcja <math>f:\mathbb A \to \mathbb B</math>, że <math>\forall a_1, a_2 \in \mathbb A: f(a_1) = f(a_2)</math>
Czasem przez funkcję monotoniczną rozumie się funkcję silnie monotoniczną; wówczas funkcje niemalejące i nierosnące nazywa się '''słabo monotonicznymi'''.
Linia 20:
Funkcja silnie monotoniczna musi być [[funkcja różnowartościowa|funkcją różnowartościową]]: dla każdych różnych <math>a_1</math>, <math>a_2</math>, <math>f(a_1) > f(a_2) \or f(a_1) < f(a_2)</math>, a więc <math>f(a_1) \ne f(a_2).</math>
== Funkcje zmiennej rzeczywistej ==
Funkcja zmiennej rzeczywistej różniczkowalna w przedziale jest monotoniczna, gdy jej [[pochodna (matematyka)|pochodna]] zachowuje stały znak w tym przedziale.
Linia 33:
* [[Funkcja potęgowa]] na półprostej dodatniej jest rosnąca, gdy wykładnik potęgi jest dodatni, a malejąca, gdy jest ujemny.
== Ciągi monotoniczne ==
Ponieważ każdy [[ciąg (matematyka)|ciąg]] jest funkcją, więc można dla nich też zdefiniować pojęcie monotoniczności w identyczny sposób. A zatem otrzymuje się definicje '''ciągu stałego''', '''ciągu rosnącego''', '''ciągu malejącego''', '''ciągu nierosnącego''', '''ciągu niemalejącego''', '''ciągu monotonicznego''' i '''ciągu ściśle monotonicznego'''.
Linia 46:
Ogólne pojęcie monotoniczności wprowadzono, aby ułatwić postać wielu [[twierdzenie|twierdzeń]]. Dla przykładu każdy nieskończony ciąg monotoniczny ograniczony jest [[ciąg zbieżny|zbieżny]]. Także każdy nieskończony ciąg stały jest zbieżny - jego [[granica ciągu|granica]] jest równa wspólnej wartości wszystkich jego wyrazów.
=== Przykłady ===
* ciąg słów (''a''<sub>''n''</sub>) = (''ala'', ''ala'', ''ala'', ...) jest stały
* ciąg 1, 2, 3, 4, 5, ... jest rosnący
* ciąg 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... jest malejący
* ciąg 0, 0, 0, 0, 0, ... jako stały jest jednocześnie niemalejący i nierosnący
* ciąg 2, 3, 2, 3, 2, 3, ... nie jest monotoniczny.
== Pojęcie teorio-mnogościowe ==
Niech <math>(A, \
<math>f: A \rightarrow B</math> jest monotoniczna jeżeli
<math>(\forall {x_0\in A})(\forall {x_1 \in A}) x_0 \
Jest to ogólna definicja monotoniczności, należy więc odróżnić [[
[[Porządek częściowy|porządku częściowego]] <math>\
rzeczywistych. Na przykład: funkcja monotonicznie malejąca na zbiorze liczb rzeczywistych jest monotoniczna w sensie powyższej definicji jeżeli <math>\
na liczbach rzeczywistych (tzn <math>\
Funkcje monotoniczne są morfizmami w [[kategoria (teoria kategorii)|kategorii]] '''Pos''' zbiorów częściowo uporządkowanych.
== Zobacz też ==
* [[nierówność o ciągach jednomonotonicznych]]
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Monotoniczna]]
| |||