Powinowactwo osiowe: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicja: poprawiono definicję powinowactwa osiowego, dodano definicję wektora, kierunku i stosunku powinowactwa |
przeredagowano definicję wektora, kierunku i stosunku powinowactwa, dodano sekcję Własności, dodano krótkie objaśnienia do poszczególnych rodzajów powinowactwa osiowego, dodano sekcję Literatura |
||
Linia 3:
==Definicja==
[[Odwzorowanie geometryczne]] ''f'' na płaszczyźnie nazywamy '''powinowactwem osiowym''' o osi ''k'', jeżeli
każda prosta nierównoległa do ''k'' i jej obraz mają punkt wspólny
Równoważna definicja - '''powinowactwem osiowym''' ''f'' o osi ''k'' na płaszczyźnie nazywamy [[przekształcenie afiniczne]], w którym prosta ''k'' jest prostą punktów stałych tego przekształcenia.
Wektor powinowactwa jest to uporządkowana para punktów nie leżąca na osi ''k'': dowolny punkt A i jego obraz punkt A'.
Kierunek powinowactwa to prosta wyznaczona przez punkt A i jego obraz A', które nie leżą na osi ''k''.
Stosunek powinowactwa jest to liczba s spełniająca warunek: <math>\vec{A_P'A'}=s\cdot\vec{A_PA}</math>, gdzie punkty A<sub>P</sub> i A'<sub>P</sub> są rzutami prostokątnymi punktu A i jego obrazu A' na oś ''k''.
==Własności==
* dla dowolnych punktów A i B nie będących [[Punkt stały|punktami stałymi]] powinowactwa osiowego ''f'' proste A''f''(A) i B''f''(B) są równoległe
* jedynymi punktami stałymi w powinowactwie osiowym różnym od tożsamościowego są punkty osi powinowactwa ''k''
* prostymi stałymi powinowactwa jest oś powinowactwa i wszystkie proste równoległe do kierunku powinowactwa
* jeśli A=A', to powinowactwo osiowe staje się przekształceniem tożsamościowym
* powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ''k'' i wektor powinowactwa
* powinowactwo osiowe jest wyznaczone jednoznacznie, gdy podamy oś powinowactwa ''k'', kierunek powinowactwa oraz stosunek powinowactwa różny od 1
==Fakty==
Można udowodnić, że każde [[przekształcenie afiniczne]] daje się przedstawić jako [[Złożenie funkcji|złożenie]] pewnego '''powinowactwa osiowego''' i pewnego [[Podobieństwo|podobieństwa]].
Rodzaje powinowactwa osiowego:
* powinowactwo prostokątne - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi powinowactwa
* powinowactwo ścinające (ścięcie) - kierunek powinowactwa jest równoległy do osi powinowactwa
* [[symetria skośna]] - środek wektora powinowactwa leży na na osi powinowactwa
* [[symetria osiowa]] - kierunek powinowactwa jest prostopadły do osi i środek wektora leży na osi
Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.▼
▲Każde przekształcenie afiniczne na płaszczyźnie jest powinowactwem osiowym lub złożeniem co najwyżej trzech powinowactw osiowych. Z tego wynika, że powinowactwa osiowe generują grupę przekształceń afinicznych.
==Literatura==
* {{cytuj książkę|nazwisko=Bednarczuk|imię=Jerzy|tytuł=Urok przekształceń afinicznych|wydawnictwo=Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne|miejsce=Warszawa|rok=1978}}
==Zobacz też==
* [[jednokładność]]
| |||