Wikipedia

Podprzestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m To stwierdzenie z teorii grup nie nie wnosi do teorii przestrzeni liniowych. Brzmi bardzo groźnie a jest w gruncie strasznie banalne. Jak stwierdzenie, że gdy ktoś umrze, to nie żyje.
→‎Działania: przeredagowanie sekcji
Linia 24:
W [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]] dużą uwagę poświęca się podprzestrzeniom [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]] o kowymiarze 1.
 
== Działania na podprzestrzeniach liniowych ==
[[przekrój (matematyka)|Część wspólna]] dowolnie wielu podprzestrzeni liniowych danej przestrzeni jest podprzestrzenią liniową, gdyż każda kombinacja liniowa elementów przekroju rodziny podprzestrzeni liniowych należy do tego przekroju jako, że należy ona do każdej podprzestrzeni, których część wspólną się rozważa.
 
Zamiast nieprzydatnej tu sumy mnogościowej<ref>[[Suma zbiorów|Suma mnogościowa]] dwu (i więcej) podprzestrzeni liniowych nie jest na ogół sama podprzestrzenią - jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej.</ref> Zwprowadza tegosię powodudla wyrażenie ''suma przestrzeni''podprzestrzeni <math>U</math> i <math>W</math> odnosisumę sięalgebraiczną najczęściejzdefiniowaną donastępująco: sumy algebraicznej:
; Fakt
: Suma algebraiczna
:: <math>U + W := \{\mathbf u + \mathbf w\colon \mathbf u \in U \mbox{ oraz } \mathbf w \in W \}</math>
 
:Suma danychalgebraiczna <math>U + W</math> dwóch podprzestrzeni <math>U</math> oraz <math>W</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> jest podprzestrzenią <math>V.</math>
; Dowód
: Niech <math>\mathbf x, \mathbf y \in U + W.</math> Wówczas <math>\mathbf x</math> oraz <math>\mathbf y</math> można przedstawić odpowiednio jako <math>=\mathbf x_U + \mathbf x_W</math> oraz <math>\mathbf y=\mathbf y_U + \mathbf y_W,</math> przydla czympewnych <math>\mathbf x_U</math>, oraz <math>\mathbf y_U</math>\in należą do <math>U</math> , zaś <math>\mathbf x_W</math>, oraz <math>\mathbf y_W</math>\in należą do <math>W</math>. W ten sposób
:: <math>\mathbf x + \mathbf y = \mathbf x_U + \mathbf x_W + \mathbf y_U + \mathbf y_W = \underbrace{\mathbf x_U + \mathbf y_U}_{\in U} + \underbrace{\mathbf x_W + \mathbf y_W}_{\in W} \in U + W.</math>
: JeżeliNiech <math>\mathbf x \in U + W,</math> zaś <math>c</math> jest skalarem, to. korzystającKorzystając z tego samego przedstawienia wektora <math>\mathbf x</math> co wyżej uzyskuje się, iż
:: <math>c\mathbf x = c(\mathbf x_U + \mathbf x_W) = \underbrace{c\mathbf x_U}_{\in U} + \underbrace{c\mathbf x_W}_{\in W} \in U + W.</math>
 
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Podprzestrzeń_liniowa”