Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów: poprawa błędu |
drobne redakcyjne, drobne merytoryczne |
||
Linia 11:
* <math>\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|</math> (dodatnia jednorodność)
* <math>\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|</math> ([[nierówność trójkąta]])
nazywa się '''normą''' (w przestrzeni <math>X</math>), a przestrzeń <math>X</math> z określoną normą <math>\|\cdot\|</math> nazywa się '''przestrzenią unormowaną'''.
Niektóry autorzy, jak na przykład [[Nicolas Bourbaki]]<ref>{{cytuj książkę|imię=Nicolas|nazwisko=Bourbaki|autor link=Nicolas Bourbaki|tytuł=Topological vector spaces|miejsce=Berlin|wydawca=Springer|rok=1987|isbn=3-540-42338-9|strony=I.3}}</ref>, podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej dopuszczając by ''K'' było dowolnym [[pierścień waluacji|pierścieniem waluacji]] [[pierścień z dzieleniem|z dzieleniem]] – nie jest to jednak powszechna praktyka. Każde odwzorowanie spełniające warunki drugi i trzeci spełnia również warunek
Linia 43 ⟶ 45:
Jej oznaczenie jest zgodne z ''p''-tymi normami w tym sensie, iż <math>\|\mathbf x\|_p \to \|\mathbf x\|_\infty</math> przy <math>p \to \infty.</math>
Jeżeli <math>
: <math>\|f\| = \
Przykładem przestrzeni unormowanej, która nie jest zupełna jest np. przestrzeń <math>c_{00}</math>, tj. podprzestrzeń przestrzeni <math>\ell^\infty</math> wszystkich ciągłów liczbowych których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezereowych.
Większość przestrzeni unormowanych naturalnie pojawiających się w matematyce to przestrzenie Banacha – należą do nich, na przykład, [[przestrzeń Lp|przestrzenie ''L<sup>p</sup>'']], [[przestrzeń Sobolewa|przestrzenie Sobolewa]], [[przestrzeń Hardy'ego|przestrzenie Hardy'ego]]. Każda [[podprzestrzeń liniowa]] przestrzeni Banacha, która nie jest [[zbiór domknięty|domknięta]] jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha. Innym przykładem niezupełnej przestrzeni unormowanej jest [[całka Pettisa#Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa|przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa]] (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej).
| |||