|
== Twierdzenie ==
Niech <math>X</math> będzie niepustym zbiorem oraz
Niech <math>X</math> będzie niepustym zbiorem, zaś <math>\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, +\infty],</math> gdzie <math>\mathcal P(X)</math> jest [[zbiór potęgowy|zbiorem potęgowym]] <math>X,</math> będzie [[funkcja|funkcją]] taką, że <math>\mu^*(\varnothing) = 0.</math>
:<math>\mu^*\colon \mathcal P(X) \to [0, +\infty]</math>
będzie taką funkcją, że <math>\mu^*(\varnothing) = 0</math> (<math>\mathcal P(X)</math> oznacza [[zbiór potęgowy]] zbioru <math>X</math>).
ZbiórMówi się, że zbiór <math>A</math> spełnia ''rozdzielawarunek Carathéodory'' zbiórwzględem <math>E\mu^*,</math> względemdla każdego zbioru <math>E\mu^*,subseteq X</math> jeślizachodzi równość
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c).</math>
Mówi się, że zbiór <math>A</math> spełnia '''warunek Carathéodory'ego''' względem <math>\mu^*,</math> jeżeli <math>A</math> rozdziela dowolny podzbiór <math>E</math> zawarty w <math>X.</math>
Wówczas zbiórrodzina <math>\mathfrak M</math> podzbiorów <math>X,</math> które spełniają warunek Carathéodory'ego względem <math>\mu^*,</math>, jest [[ciało zbiorów|algebrą]], a <math>\mu</math> będąca zawężeniem <math>\mu^*</math> do <math>\mathfrak M</math> jest [[miara skończenie addytywna|miarą skończenie addytywną]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|addytywna]]). Co więcej, jeśli <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] (tzn. jest również [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] i [[funkcja addytywna|przeliczalnie podaddytywna]]), to <math>\mathfrak M</math> jest [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrą]], zaś <math>\mu</math> jest [[miara (matematyka)|miarą]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|przeliczalnie addytywna]]).
; Uwaga : Twierdzenie jest prawdziwe bez względu na sposób konstrukcji <math>\mu^*.</math>
| 