Wikipedia

Równanie czwartego stopnia: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
→‎Metoda Ferrariego: poprawa dowodu
Linia 132:
:{{wzór|<math>(u^2+p)^2=pu^2-qu-r+p^2\;</math>|14}}
 
AbyWprowadzamy obliczyćnową wyróżnikniewiadomą prawej<math>v\;</math>. stronyDodając do wyrażenia w nawiasie równania, wprowadza{{LinkWzór|14}} siępo nowąlewej niewiadomąstronie <math>v\;</math>. można zapisać
 
Dodając do wyrażenia w nawiasie równania {{LinkWzór|14}} po lewej stronie <math>v\;</math> można zapisać
:{{wzór|<math>(u^2+p+v)^2=(u^2+p)^2+2v(u^2+p)+v^2=\;</math><br /><math>=pu^2-qu-r+p^2+2v(u^2+p)+v^2=\;</math><br /><math>=(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2),\;</math>|15}}
czyli
:{{wzór|<math>(u^2+p+v)^2=(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)\;</math>|16}}
 
RównanieWyrażenie drugiego stopnia jest kwadratem, gdy jego wyróżnik jest równy zero. Należy zatem wybrać liczbę <math>v\;</math>, tak aby
:{{wzór|<math>(-q)^2-4(p+2v)(p^2-r+2pv+v^2)=0\;</math>|17}}
 
Lewa strona równania (17) to wyróżnik wyrażenia kwadratowego
Aby to uczynić, przekształca się równanie (17) do
: <math>(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)=0\;</math> .▼
 
Wyrażenie to można zapisać w postaci równania trzeciego stopnia względem <math>v\;</math>
:{{wzór|<math>(q^2-4p^3+4pr)+(-16p^2+8r)v-20pv^2-8v^3=0,\;</math>|18}}
które jest równaniem stopnia trzeciego (możnaq jemożna rozwiązać metodami del Ferro i Tartaglii). Lewa stronaZatem, równaniaprzy (17)<math>v\;</math> tobędącym wyróżnikrozwiązaniem wyrażeniatego równania, kwadratowegowyrażenie
▲: <math>(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)=0\;</math>
(gdzie zmienną wolną jest <math>u\;</math>). Zatem, przy wybranej <math>v\;</math>, wyrażenie
: <math>(p+2v)u^2-qu+(p^2-r+2pv+v^2)\;</math>
jest pełnym kwadratem i równanie {{LinkWzór|2}} zostaje zredukowane do:
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_czwartego_stopnia”