|
Klasa operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}</math> tworzy niesymetryczny, domknięty [[ideał operatorowy]]. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa <math>\mathcal{BS}(E)</math> na przestrzeni Banacha ''E'' tworzy [[zbiór domknięty|domknięty]] [[ideał (teoria pierścieni)|ideał]] [[algebra Banacha|algebry]] <math>\mathcal{B}(E)</math> operatorów ograniczonych na <math>E</math> (analogicznie, rodzina <math>\mathcal{WBS}(E)</math>, słabych operatorów Banacha-Saksa na ''E'' również tworzy domknięty ideał).
=== Ideał słabych operatorów Banacha-Saksa na ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1) ===
Ideał <math>\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math> jest [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] w algebrze <math>\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))</math>. Jeżeli
: <math>T\in \mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))\setminus \mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math>,
to istnieje taka [[podprzestrzeń liniowa]] <math>Y</math> przestrzeni ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1), która jest z nią izomorficzna oraz ''T'' zawężony do ''Y'' jest [[izomorfizm]]em<ref>J. Bourgain, ''The Szlenk index and operators on C(K)-spaces''. Bulletin de la Société mathématique de Belgique B 31, 1 (1979), ss. 87–117.</ref>. Operator ograniczony, określony na przestrzeni typu ''C''(''K''), gdzie ''K'' jest [[przestrzeń zwarta|zwartą]] [[przestrzeń Hausdorffa|przestrzenią Hausdorffa]] i o wartościach w dowolnej przestrzeni Banacha ''X'' jest słabym operatorem Banacha-Saksa wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje podprzestrzeń przestrzeni ''C''(''K''), izomorficzna z ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1), na której ''T'' działałby jako [[izomorfizm]]<ref>A. Pełczyński, A. ''On C(S)-subspaces of separable Banach spaces''. [[Studia Mathematica]] 31 (1968), ss. 513–522.</ref>. Fakt ten pociąga za sobą, że jeżeli ''X''=''T''(''Y''), to istnieje taka podprzestrzeń ''Z'' obrazu ''T''(''Y''), która jest komplementarna w ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1) oraz izomorficzna z ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1). Niech ''W''=''T''<sup>-1</sup>(''Z''),
: <math>P\colon C(\omega^\omega+1)\to Z</math>
będzie [[Rzut (algebra liniowa)|rzutowaniem]] na ''Z'',
: <math>S\colon C(\omega^\omega+1)\to Z</math>
będzie izomorfizmem oraz
: <math>J\colon T\to C(\omega^\omega+1)</math>
będzie operatorem inkluzji. Następujący [[diagram przemienny|diagram]] jest [[diagram przemienny|przemienny]]:
:
a zatem operator <math>T</math> faktoryzuje się poprzez [[odwzorowanie tożsamościowe|identyczność]] przestrzeni ''C''(''ω''<sup>''ω''</sup>+1) (tzn. operator tożsamościowy należy do ideału generowanego przez ''T''), co implikuje, że ideał <math>\mathcal{WBS}(C(\omega^\omega+1))</math> jest jedynym [[ideał maksymalny|ideałem maksymalnym]] w <math>\mathcal{B}(C(\omega^\omega+1))</math>.
== Własność ''p''-BS i indeks Banacha-Saksa ==
| 
