Otwórz menu główne

Własność Banacha-Saksa – własność niektórych przestrzeni unormowanych polegająca na tym, że każdy ograniczony ciąg punktów w przestrzeni unormowanej ma podciąg zbieżny według średniej (inne nazwy: sumowalny w sensie Cesàro, limesowalny), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu jej punktów istnieje podciąg o tej własności, że ciąg

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa.

Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematyków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni Lp(0,1), takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro[1]. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe[2]. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa, zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń ma tę własność[3]. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Twierdzenia i przykładyEdytuj

Operatory Banacha-SaksaEdytuj

Operator ograniczony   między przestrzeniami Banacha   i   nazywany jest operatorem Banacha-Saksa, jeżeli każdy ograniczony ciąg   punktów przestrzeni   ma taki podciąg   że ciąg

 

jest zbieżny w przestrzeni   Analogicznie definiuje się pojęcie słabego operatora Banacha-Saksa, zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.

Klasa operatorów Banacha-Saksa   tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa   na przestrzeni Banacha   tworzy domknięty ideał algebry   operatorów ograniczonych na   (analogicznie, rodzina   słabych operatorów Banacha-Saksa na   również tworzy domknięty ideał).

Własność p-BS i indeks Banacha-SaksaEdytuj

Jeżeli   jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to o ciągu ograniczonym   elementów przestrzeni Banacha   mówi się, że jest p-BS-ciągiem, gdy zawiera taki podciąg   że

 

O przestrzeni Banacha mówi się, że ma własność p-BS jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący p-BS-ciągiem[13][14]. Pojęcie własności p-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór

 

jest postaci   bądź   gdzie   jest pewną liczbą nie mniejszą od 1. Jeżeli   to indeks Banacha-Saksa   przestrzeni   definiuje się jako   natomiast gdy   to   Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest  

PrzypisyEdytuj

  1. S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs  , „Studia Mathematica”, 2 (1930) s. 51–57.
  2. S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) s. 165–167.
  3. W. Szlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l’espace   „Studia Mathematica”, 25 (1969), s. 337–341.
  4. T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 23 (1963) s. 53–57.
  5. A. Baernstein II, On reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 42 (1972), s. 91–94.
  6. J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) s. 58–62.
  7. J.R. Partington, On the Banach–Saks property, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) s. 369–374.
  8. S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de   à   d'áprés J. Bourgin, Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980), s. 8.
  9. J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 82 (1976), s. 907–909.
  10. R. Anantharaman, The range of a vector measure has the Banach-Saks property, „Proceedings of the American Mathematical Society” 66 (1977), s. 183–184 [1].
  11. N. Okada, On the Banach-Saks property, „Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.”, Volume 60, Number 7 (1984), s. 246–248. [2].
  12. K. Cho, C. Lee, Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space, „Kangweon-Kyungki Math. Jour.”, 6 (1998), No. 2, s. 341–348. [3].
  13. E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach–Saks index, Mat. Sb., 195:2 (2004), s. 117–140.
  14. S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach-Saks p-property, Math.Ann., 332 (2005), no. 4, s. 879–900.

BibliografiaEdytuj