Własność Banacha-Saksa

Własność Banacha-Saksa – własność niektórych przestrzeni unormowanych polegająca na tym, że każdy ograniczony ciąg punktów w przestrzeni unormowanej ma podciąg zbieżny według średniej (inne nazwy: sumowalny w sensie Cesàro, limesowalny), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu $(x_{n})_{n}$ jej punktów istnieje podciąg $(x_{n_{k}})_{k}$ o tej własności, że ciąg

\left({\frac {x_{n_{1}}+\ldots +x_{n_{k}}}{k}}\right)_{k=1}^{\infty }

jest zbieżny (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ciągami Banacha-Saksa.

Nazwa pojęcia pochodzi o nazwisk polskich matematyków, Stefana Banacha i Stanisława Saksa, którzy rozszerzyli twierdzenie Mazura mówiące, że słaba granica ciągu punktów przestrzeni Banacha jest granicą w sensie normy kombinacji wypukłych wyrazów tego ciągu, o możliwość znalezienia w przestrzeni L_p(0,1), $1<p<\infty$ takiego ciągu kombinacji wypukłych wyrazów wyjściowego ciągu, który jest dodatkowo sumowalny w sensie Cesàro^[1]. Wynik ten został jeszcze dalej rozszerzany przez Shizuo Kakutaniego na przestrzenie jednostajnie wypukłe^[2]. Wiesław Szlenk wprowadził pojęcie słabej własności Banacha-Saksa, zastępując pojęcie ciągu ograniczonego w definicji własności Banacha-Saksa ciągiem słabo zbieżnym do zera oraz udowodnił, że przestrzeń $L_{1}(0,1)$ ma tę własność^[3]. Definicja obydwu tych własności Banacha-Saksa przenosi się analogicznie na podzbiory przestrzeni unormowanych.

Twierdzenia i przykłady

Każda przestrzeń mająca własność Banacha-Saksa jest refleksywna^[4]. Istnieją jednak przestrzenie refleksywne, które nie mają tej własności – pierwszy przykład takiej przestrzeni został podany przez Alberta Baernsteina^[5].
Julian Schreier podał, jako pierwszy, przykład przestrzeni (tzw. przestrzeń Schreiera), która nie ma słabej własności Banacha-Saksa^[6]. Udowodnił także, że przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej $\omega ^{\omega }+1$ również nie ma tej własności.
Podciąg ciągu Banacha-Saksa nie musi być ciągiem Banacha-Saksa.
ℓ_p-sumy przestrzeni o własności Banacha-Saksa nadal mają tę własność^[7].
Istnieje przestrzeń $E$ o własności Banacha-Saksa dla której przestrzeń $L_{2}(E)$ (funkcji całkowalnych z kwadratem w sensie Bochnera o wartościach w $E$ ) nie ma tej własności^[8].
Każdy ograniczony ciąg punktów przestrzeni Banacha zawiera podciąg o tej własności, że każdy podciąg tego ciągu jest ciągiem Banacha-Saksa bądź żaden nie jest ciągiem Banacha-Saksa.
Obraz ściśle addytywnej miary wektorowej ma własność Banacha-Saksa^[9]^[10].
Jeżeli $E$ jest taką przestrzenią Banacha, że jej przestrzeń sprzężona $E^{*}$ jest jednostajnie wypukła, to $E$ ma własność Banacha-Saksa^[11].
Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Schlumprechta ma własność Banacha-Saksa^[12].

Operatory Banacha-Saksa

Operator ograniczony $T$ między przestrzeniami Banacha $X$ i $Y$ nazywany jest operatorem Banacha-Saksa, jeżeli każdy ograniczony ciąg $(x_{n})_{n}$ punktów przestrzeni $X$ ma taki podciąg $(x_{n_{k}})_{k},$ że ciąg

\left({\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Tx_{n_{i}}\right)_{k=1}^{\infty }

jest zbieżny w przestrzeni $Y.$ Analogicznie definiuje się pojęcie słabego operatora Banacha-Saksa, zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.

Klasa operatorów Banacha-Saksa ${\mathcal {BS}}$ tworzy niesymetryczny, domknięty ideał operatorowy. W szczególności rodzina operatorów Banacha-Saksa ${\mathcal {BS}}(E)$ na przestrzeni Banacha $E$ tworzy domknięty ideał algebry ${\mathcal {B}}(E)$ operatorów ograniczonych na $E$ (analogicznie, rodzina ${\mathcal {WBS}}(E),$ słabych operatorów Banacha-Saksa na $E$ również tworzy domknięty ideał).

Własność p-BS i indeks Banacha-Saksa

Jeżeli $p\geqslant 1$ jest ustaloną liczbą rzeczywistą, to o ciągu ograniczonym $(x_{n})_{n}$ elementów przestrzeni Banacha $X$ mówi się, że jest p-BS-ciągiem, gdy zawiera taki podciąg $(x_{n_{k}})_{k},$ że

\sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{m^{\frac {1}{p}}}}{\Bigg \|}\sum _{i=1}^{m}x_{n_{i}}{\Bigg \|}<\infty .

O przestrzeni Banacha mówi się, że ma własność p-BS jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący p-BS-ciągiem^[13]^[14]. Pojęcie własności p-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór

\Gamma (X)=\{p\geqslant 1\colon \,X{\mbox{ ma własność }}p-\operatorname {BS} \}

jest postaci $[0,\gamma _{0})$ bądź $[0,\gamma _{0}],$ gdzie $\gamma _{0}$ jest pewną liczbą nie mniejszą od 1. Jeżeli $\gamma (X)=[0,\gamma _{0}],$ to indeks Banacha-Saksa $\gamma (X)$ przestrzeni $X$ definiuje się jako $\gamma (X)=\gamma _{0},$ natomiast gdy $\gamma (X)=[0,\gamma _{0}),$ to $\gamma _{0}=0.$ Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest $L_{2}(0,1).$

Przypisy

↑ S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs $L_{p}$ , „Studia Mathematica”, 2 (1930) s. 51–57.
↑ S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) s. 165–167.
↑ W. Szlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l’espace $L$ „Studia Mathematica”, 25 (1969), s. 337–341.
↑ T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 23 (1963) s. 53–57.
↑ A. Baernstein II, On reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 42 (1972), s. 91–94.
↑ J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) s. 58–62.
↑ J.R. Partington, On the Banach–Saks property, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) s. 369–374.
↑ S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de $E$ à $L^{2}(E),$ d'áprés J. Bourgin, Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980), s. 8.
↑ J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 82 (1976), s. 907–909.
↑ R. Anantharaman, The range of a vector measure has the Banach-Saks property, „Proceedings of the American Mathematical Society” 66 (1977), s. 183–184 [1].
↑ N. Okada, On the Banach-Saks property, „Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.”, Volume 60, Number 7 (1984), s. 246–248. [2].
↑ K. Cho, C. Lee, Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space, „Kangweon-Kyungki Math. Jour.”, 6 (1998), No. 2, s. 341–348. [3].
↑ E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach–Saks index, Mat. Sb., 195:2 (2004), s. 117–140.
↑ S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach-Saks p-property, Math.Ann., 332 (2005), no. 4, s. 879–900.

Bibliografia

Joram Lindenstrauss: Handbook of the Geometry of Banach Spaces. T. 1. North Holland, 2001, s. 444. ISBN 0-444-82842-7.
Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 523–535. ISBN 0-8176-4367-2.

[1] S. Banach, S. Saks, Sur la convergence forte dans les champs $L_{p}$ , „Studia Mathematica”, 2 (1930) s. 51–57.

[2] S. Kakutani, Weak convergence in uniformly convex spaces Math. Inst. Osaka Imp. Univ. (1938) s. 165–167.

[3] W. Szlenk, Sur les suites faiblement convergents dans l’espace $L$ „Studia Mathematica”, 25 (1969), s. 337–341.

[4] T. Nishiura, D. Waterman, Reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 23 (1963) s. 53–57.

[5] A. Baernstein II, On reflexivity and summability, „Studia Mathematica”, 42 (1972), s. 91–94.

[6] J. Schreier, Ein Gegenbeispiel zur Theorie der swachen Konvergenz Studia Mathematica, 2 (1930) s. 58–62.

[7] J.R. Partington, On the Banach–Saks property, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 82 (1977) s. 369–374.

[8] S. Guerre, La propriété de Banach–Saks ne pase pas de $E$ à $L^{2}(E),$ d'áprés J. Bourgin, Sem. Anal. Fonctionnelle Ecole Polytechn. Palaiseau (1979–1980), s. 8.

[9] J. Diestel, C.J. Seifert, An averaging property of the range of a vector measure, „Bulletin of the American Mathematical Society”, 82 (1976), s. 907–909.

[10] R. Anantharaman, The range of a vector measure has the Banach-Saks property, „Proceedings of the American Mathematical Society” 66 (1977), s. 183–184 [1].

[11] N. Okada, On the Banach-Saks property, „Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.”, Volume 60, Number 7 (1984), s. 246–248. [2].

[12] K. Cho, C. Lee, Banach-Saks property on the dual of the Schlumprecht space, „Kangweon-Kyungki Math. Jour.”, 6 (1998), No. 2, s. 341–348. [3].

[13] E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach–Saks index, Mat. Sb., 195:2 (2004), s. 117–140.

[14] S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, The Banach-Saks p-property, Math.Ann., 332 (2005), no. 4, s. 879–900.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]