Grupa ilorazowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Rozkład: poprawa linków |
|||
Linia 38:
Mnożenie warstw polegające na wyborze reprezentantów jest sztuczne: dużo bardziej naturalnym podejściem byłoby traktowanie wszystkich elementów warstw w jednakowy sposób, nie zaś wyróżnianie jednego z nich, a następnie wykazywanie, że nie jest to niesprawiedliwością w stosunku do pozostałych. Z tego powodu wprowadza się naturalnie określone działanie na dowolnych niepustych podzbiorach danej grupy nazywanych ''kompleksami'', które w przypadku warstw (będących kompleksami) pokrywa się z opisanym wyżej mnożeniem warstw.
Jeżeli <math>\scriptstyle X, Y</math> są kompleksami (tzn. niepustymi podzbiorami) grupy <math>\scriptstyle G,</math> to ich ''iloczynem'' nazywa się zbiór <math>\scriptstyle XY = \{xy\colon x \in X,\, y \in Y\};</math> dla warstw stosuje się notację <math>\scriptstyle aH := \{a\}H</math> oraz <math>\scriptstyle Ha := H\{a\},</math> gdzie <math>\scriptstyle a \in G,</math> zaś <math>\scriptstyle H</math> jest podgrupą w <math>\scriptstyle G.</math> Iloczyn kompleksowy warstw lewostronnych grupy <math>\scriptstyle G</math> względem podgrupy <math>\scriptstyle H</math> jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa <math>\scriptstyle H</math> jest normalna. Otóż iloczynem <math>\scriptstyle aH</math> oraz <math>\scriptstyle bH</math> dla <math>\scriptstyle a, b \in G</math> jest zbiór <math>\scriptstyle aHbH = \{ahbh_1 \in G\colon h, h_1 \in H\},</math> przy czym <math>\scriptstyle ab = aebe \in aHbH.</math> Zatem <math>\scriptstyle aHbH</math> jest warstwą lewostronną grupy <math>\scriptstyle G</math> względem <math>\scriptstyle H</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest warstwą lewostronną <math>\scriptstyle G</math> względem <math>\scriptstyle H</math> zawierającą <math>\scriptstyle ab,</math> tzn. <math>\scriptstyle H</math> jest warstwą lewostronną <math>\scriptstyle G</math> względem <math>\scriptstyle H</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle aHbH = abH.</math> Wystarczy więc wykazać, że <math>\scriptstyle aHbH = abH</math> dla wszystkich <math>\scriptstyle a, b \in G</math> zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G</math><ref>Jeżeli <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G,</math> to <math>\scriptstyle aHbH = abH.</math> Istotnie: normalność <math>\scriptstyle H</math> oznacza <math>\scriptstyle bH = Hb</math> dla każdego <math>\scriptstyle b \in G,</math> a więc dla dowolnych <math>\scriptstyle a, b \in G</math> zachodzi <math>\scriptstyle aHbH = a(Hb)H = abHH = abH,</math> gdyż <math>\scriptstyle HH = H</math> (co wynika z <math>\scriptstyle HH \subseteq H</math>) oraz <math>\scriptstyle H = 1H \subseteq HH</math> na mocy ogólnych własności iloczynu kompleksowego. Odwrotnie: zakładając <math>\scriptstyle aHbH = abH</math> dla dowolnych <math>\scriptstyle a, b \in G</math> otrzymuje się <math>\scriptstyle HbH = a^{-1}a(HbH) = a^{-1}(aHbH) = a^{-1}(abH) = a^{-1}a(bH) = bH,</math> czyli <math>\scriptstyle HbH = bH,</math> a
Porównując działania mnożenia warstw grupy <math>\scriptstyle G</math> względem podgrupy <math>\scriptstyle H</math> oraz ich iloczyn kompleksowy można zauważyć, że mnożenie dwóch warstw lewostronnych jest zawsze warstwą lewostronną, o ile działanie to jest dobrze określone, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle H</math> jest normalna w <math>\scriptstyle G;</math> z drugiej zaś strony iloczyn kompleksowy dwóch warstw jest zawsze dobrze określonym kompleksem, który jest warstwą lewostronną wtedy i tylko wtedy, gdy warstwy wyznaczane są przez podgrupę normalną: związek <math>\scriptstyle aHbH = abH</math> w powyższym rozumowaniu dowodzi, że działania te są identyczne pod warunkiem normalności podgrupy <math>\scriptstyle H</math> w grupie <math>\scriptstyle G.</math>
| |||