Funkcja różniczkowalna: Różnice pomiędzy wersjami

W szczególności funkcja pochodna danej funkcji określona jest w tej samej co funkcja dziedzinie.

 

Jeżeli funkcja ''f'' ma pochodną ''g'' w zbiorze ''A'' oraz funkcja ''g'' ma pochodną ''h'' w zbiorze <math> B \subset A </math> to powiemy, że ''f'' jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze ''B'', oraz druga pochodna funkcji ''f'' na tym zbiorze to ''h''.

Analogicznie można zdefiniować n-tą pochodną funkcji ''f''.

 

Jeżeli funkcja ''f'' ma w przedziale ''(a,b)'' n pochodnych i n-ta pochodna ''f ⁽ⁿ⁾'' jest [[funkcja ciągła|funkcją ciągłą]] w ''(a,b)'' to funkcję ''f'' nazywamy funkcją klasy ''Cⁿ( (a,b) )''. Przez funkcję klasy ''C⁰'' rozumiemy funkcję ciągłą.

 

Ważną klasę funkcji stanowi <math>C^{\infty}</math> (C-nieskończoność) czyli różniczkowalna dowolną liczbę razy. Klasę <math>C^\infty</math> nazywamy też klasą funkcji '''gładkich'''.

 

* [[Wielomian]]y, [[Funkcja wykładnicza|funkcje wykładnicze]], [[Funkcje trygonometryczne|sinus i cosinus]], [[Funkcje hiperboliczne|sinus hiperboliczny, cosinus hiperboliczny i tangens hiperboliczny]], są funkcjami klasy <math>C^{\infty}(\mathbb{R})</math>

* funkcja f(x)=|x| jest klasy <math>C^{0}(\mathbb{R})</math> ale nie <math>C^{1}(\mathbb{R})</math>