Twierdzenie Darboux: Różnice pomiędzy wersjami

▲Przypuśćmy, że <math>d</math> nie jest wartością funkcji <math>f</math>, której [[Funkcja#Pojęcia i notacja|przeciwdziedziną]] jest [[Liczby rzeczywiste|zbiór liczb rzeczywistych]]. Wówczas [[Obraz i przeciwobraz|przeciwobraz]] [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] <math>\mathbb R - \{d\}</math> powinien być równy [[Funkcja#Pojęcia i notacja|dziedzinie]] (którą tutaj jest [[Przedział wielowymiarowy|przedział]] [a,b]), jednak wobec [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne|ciągłości funkcji]] będzie on sumą dwóch niepustych, rozłącznych, [[Zbiór otwarto-domknięty|otwartych]] przeciwobrazów a zatem [[Przestrzeń spójna#Definicja formalna|przestrzenią niespójną]], co wyklucza się z faktem [[Przestrzeń spójna#Spójność drogowa i łukowa|spójności drogowej]] dziedziny. Wobec czego poprzez sprzeczność dowodzi się, że <math>d</math> nie może nie być wartością funkcji. Przedstawione rozumowanie wiąże się z twierdzeniem o szerszym zakresie mówiącym, że [[Funkcja ciągła#Przestrzenie topologiczne|ciągły]] [[Obraz i przeciwobraz|obraz]] zbioru spójnego jest zbiorem spójnym. Przykładem funkcji ciągłej o niespójnym zbiorze wartości i niespójnej dziedzinie jest <math> h(x) = \frac{x}{|x|} </math>{{r|Rudin}}{{r|Maurin}}{{r|Dziubiński}}.