Jednostka urojona: Różnice pomiędzy wersjami

Z punktu widzenia [[algebra|algebry]] tworzące [[ciało (matematyka)|ciało]] [[liczby rzeczywiste]] <math>\mathbb R,</math> mimo swoich niewątpliwych zalet, są w pewien sposób ''niedoskonałe''. Mianowicie nie są [[ciało algebraicznie domknięte|algebraicznie domknięte]], tzn. istnieją [[wielomian]]y zmiennej rzeczywistej o współczynnikach rzeczywistych, które nie mają rzeczywistych rozwiązań (każdy taki wielomian można rozłożyć na czynniki liniowe i kwadratowe). Okazuje się, że dodając do <math>\mathbb R</math> [[pierwiastek z jedynki|pierwiastek kwadratowy z jedynki]] (zob. [[pierwiastkowanie]]), tj. jeden element oznaczający rozwiązanie [[równanie|równania]]<ref>Istnieją dwa rozwiązania tego równania; jeśli jedno z nich oznaczyć literą <math>i,</math> to drugie będzie równe <math>-i.</math></ref>

otrzymuje się strukturę liczbliczby zespolonych, która ma wszystkie dobre własności liczb rzeczywistych, w tym bycie ciałem,które atworzą ponadtociało jestliczbowe algebraicznie domkniętadomknięte.

Liczby zespolone można wprowadzić dodając formalnie do <math>\mathbb R</math> element <math>i</math> spełniający warunek <math>i^2 = -1.</math> RozpatrujeW siętym wtedycelu rozpatruje się formalne liczby postaci <math>a + bi,</math> gdzie <math>a, b \in \mathbb R</math><ref>{{cytuj książkę | autor =И. М. Яглом | tytuł =Комплексные числа и их применение в геометрии | wydawca =Едиториал УРСС | miejsce =Москва | rok =2004 | strony =7–9}}</ref>. Z własności działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych ([[przemienność|przemienności]] i [[łączność (matematyka)|łączności]] [[dodawanie|dodawania]] oraz [[mnożenie|mnożenia]], a także z [[rozdzielność|rozdzielności]] mnożenia względem dodawania) wynikają wzory oraz ze wspomnianej wyżej własności elementu <math>i</math> wynikają wzory na

Dowodzi się, że tak określony zbiór formalnych liczb postaci <math>a + bi</math> z wyżej wspomnianymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało, które nazywane jest ciałem liczb zespolonych.