Wersja z 01:06, 27 maj 2016 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje →‎Granica w punkcie Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 21:32, 6 cze 2016 edytuj anuluj edycję Wolfgang (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 38 285 edycji m lit. następna edycja →
Linia 8: == Granica w punkcie == Funkcja <math>f\colon A \to \mathbb R</math> określona na [[zbiór\|zbiorze]] <math>A \subseteq \mathbb R</math> ma w [[punkt skupienia\|punkcie skupienia]] <math>x_0</math> tego zbioru '''granicę''' równą <math>g</math>, jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków '''1. definicja Heinego:''' : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ , x_n \in A,\ x_n \ne x_0</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0,</math> ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> gdy <math>n \to \infty</math> , '''2. definicja Cauchy'ego:''' : <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < \|x - x_0\| < \delta \implies \|f(x) - g\| < \varepsilon)</math> , : co czytamy następująco: dla każdej liczby <math>\varepsilon > 0</math> istnieje liczba <math>\delta > 0</math> taka, że dla każdego <math>x \in A</math> z nierówności <math>0 < \|x - x_0\| < \delta</math> wynika nierówność <math>\|f(x) - g\| < \varepsilon</math> . Jeżeli istnieje granica funkcji w punkcie, to piszemy :<math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0</math> :lub :<math>\lim_{x \to x_0}f(x)=g</math>, co czytamy: granicą funkcji <math>f</math> dla <math>x</math> dążącego do <math>x_0</math> jest liczba <math>g</math>. Linia 25: '''Granica jednostronna''' jest wspólną nazwą dla granicy ''lewostronnej'' i ''prawostronnej''. Wyżej rozważaną granicę nazywa się czasami w opozycji do ukazanej w tej sekcji '''obustronną'''. Jeżeli granice lewo- i prawostronna są sobie równe, to są one równe granicy obustronnej; [[twierdzenie odwrotne]] jest prawdziwe, jeżeli obie granice jednostronne istnieją. Liczba <math>g</math> jest '''granicą lewostronną''' funkcji <math>f</math> w lewostronnym punkcie skupienia <math>x_0</math> dziedziny, co zapisuje się :<math>f(x) \to g</math> przy <math>x \to x_0^-</math><br /> lub :<math>\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g,</math><br /> gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji: ; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n < x_0</math> oraz <math>\lim_{n \to\infty}~x_n = x_0,</math> ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> przy <math>n \to \infty;</math> ; definicja Cauchy'ego : <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies \|f(x) - g\| < \varepsilon).</math> Liczba <math>g</math> jest '''granicą prawostronną''' funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, będącym prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji <math>f</math>, co zapisuje się :<math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0^+</math><br /> lub :<math>\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g,</math><br /> gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji: Linia 43: === Granica niewłaściwa === Funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> '''granicę niewłaściwą''' <math>+\infty</math>, co zapisuje się :<math>f(x) \to +\infty</math> przy <math>x\to x_0</math><br /> lub :<math>\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty,</math><br /> gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji: Linia 51: ; definicja Cauchy'ego : <math>\forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < \|x - x_0\| < \delta \implies f(x) > M).</math> Analogicznie ~~definuje~~definiuje się i oznacza się '''granicę niewłaściwą''' <math>-\infty</math>: trzeba tylko wszędzie zamienić <math>+\infty</math> na <math>-\infty</math>, a definicję Cauchy'ego zapisać tak: : <math>\forall_{M > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < \|x - x_0\| < \delta \implies f(x) < -M).</math> Linia 57: == Granica w nieskończoności == Funkcja <math>f</math> określona dla wszystkich <math>x > a\; (x < a)</math> ma '''w plus (minus) nieskończoności granicę''' <math>g</math>, co zapisuje się :<math>f(x) \to g</math> przy <math>x \to +\infty\ (x \to -\infty)</math> <br /> lub :<math>\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g\ (\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g),</math> <br /> gdy spełnione są warunki, określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji: Linia 69: Funkcja <math>f</math> określona na przedziale <math>(a, +\infty)</math> ma '''w nieskończoności granicę niewłaściwą''' <math>+\infty</math>, co zapisuje się <br /> :<math>f(x) \to +\infty</math> przy <math>x \to +\infty</math> <br /> lub :<math>\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty,</math> <br /> gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwóch równoważnych definicji:

Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami