Wersja z 23:06, 30 cze 2016 edytuj Wojwoj (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5872 edycje nowe hasło na podstawie angielskiej wersji		Wersja z 23:19, 30 cze 2016 edytuj anuluj edycję Chrumps (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy 50 061 edycji m WP:SK+ToS+mSK, drobne techniczne, int. następna edycja →
Linia 2: == Sformułowanie == Niech '''Q''' oznacza zbiór [[Liczby wymierne\|liczb wymiernych]] oraz niech ''d'' będzie liczbą całkowitą [[Liczba bezkwadratowa\|bezkwadratową]]. Wtedy [[Ciało liczbowe\|'''Q'''(√''d'')]] jest [[Rozszerzenie ciała\|skończonym rozszerzeniem]] '''Q''' stopnia 2, zwanym rozszerzeniem kwadratowym. Liczba klas '''Q'''(√''d'') jest liczbą [[~~Relacja_równoważności~~Relacja równoważności#Klasy abstrakcji i przestrzeń ilorazowa\|klas równoważności]] [[Ideał (teoria pierścieni)\|ideałów]] pierścienia całkowitego '''Q'''(√''d''), gdzie dwa ideały ''I'' i ''J'' są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją [[Ideał główny\|ideały główne]] (''a'') i (''b''), takie że (''a'')''I'' = (''b'')''J''. Dlatego pierścień całkowity '''Q'''(√''d'') jest [[Dziedzina ideałów głównych\|dziedziną ideału głównego]] (a więc [[Pierścień z jednoznacznością rozkładu\|pierścieniem z jednoznacznością rozkładu]]) wtedy i tylko wtedy, gdy liczba klas '''Q'''(√''d'') jest równa 1. Twierdzenie Starka-Heegnera może być sformułowane następująco: :Jeśli ''d'' < 0, wtedy liczba klas '''Q'''(√''d'') jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy▼ ▲: Jeśli ''d'' < 0, wtedy liczba klas '''Q'''(√''d'') jest równa 1 wtedy i tylko wtedy, gdy: :: <math>d \in \{\, -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163\,\}</math> Liczby te są określane mianem [[Liczba Heegenera\|liczb Heegenera]]{{odn\|Conway\|Guy\|1996\|s=224}}. Powyższa lista jest też zapisywana przy zastąpieniu ~~−1~~−1 przez ~~−4~~−4 i ~~−2~~−2 przez ~~−8~~−8 (co nie zmienia ciała){{odn\|Elkies\|1999\|s=93}}: : <math>D = -3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163,\,</math>▼ ▲:<math>D = -3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163,\,</math> gdzie ''D'' jest interpretowane jako [[Wyróżnik ciała liczbowego\|wyróżnik]] ([[Ciało liczbowe\|ciała liczbowego]], albo [[Krzywa eliptyczna\|krzywej eliptycznej]] z mnożeniem zespolonym). Bardziej standardowe jest, gdy ''D'' są wtedy [[Wyróżnik fundamentalny\|wyróżnikami fundamentalnymi]]. == Historia == Po raz pierwszy twierdzenie zostało zaproponowane przez [[Carl Friedrich Gauss\|Gaussa]] w sekcji 303 jego ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]''. Zasadniczo udowodnił je w 1952 [[Kurt Heegner]]{{odn\|Heegner\|1952\|s=227–253}}, ale jego dowód zawierał pewne niewielkie luki i dowód twierdzenia nie był akceptowany dopóki [[Harold Stark (matematyk)\|Harold Stark]] nie podał pełnego dowodu opublikowanego na początku 1967{{odn\|Stark\|2011\|s=35}}, który miał wiele wspólnego z pracą Heegenera, ale zawierał na tyle wystarczająco dużo różnic, że Stark uważał te dowody za różne{{odn\|Stark\|2011\|s=42}}. Heegener zmarł ~~"zanim~~„zanim ktokolwiek rzeczywiście zrozumiał, czego on ~~dokonał"~~dokonał”{{odn\|Goldfeld\|1985}}. Stark formalnie uzupełnił luki w dowodzie Heegenera w 1969 (inne współczesne rozprawy podawały rozmaite podobne dowody przez zastosowanie [[Forma modularna\|funkcji modularnych]], ale Stark skupił się wprost na wypełnieniu luk Heegenera){{odn\|odn=a\|Stark\|1969}}. [[Alan Baker]] podał całkowicie odmienny dowód nieco wcześniej (pod koniec 1966){{odn\|Baker\|1966}}{{odn\|Stark\|2011\|s=37}} niż pojawiła się praca Starka (lub bardziej precyzyjnie Baker zredukował wynik do skończonej liczby obliczeń z pracy Starka w jego rozprawie z 1963/64 podającej już stosowne obliczenia) i zdobył [[medal Fieldsa]] za swoją metodę. Później Stark wskazał, że dowód Bakera, korzystający z liniowych postaci 3 logarytmów, można zredukować do tylko 2 logarytmów, co było znanym wynikiem od 1949 dzięki [[Aleksander Gelfond\|Gelfondowi]] i [[Jurij Linnik\|Linnikowi]]{{odn\|odn=b\|Stark\|1969}}. Praca Starka z 1969{{odn\|odn=a\|Stark\|1969}} cytuje również tekst z 1895 autorstwa [[Heinrich Martin Weber\|Webera]] i zauważa, że gdyby Weber ~~"tylko~~„tylko uczynił spostrzeżenie, że redukowalność [pewnego równania] może prowadzić do [[Równanie diofantyczne\|równania diofantycznego]], to [[problem liczby klas]] równej jeden mógłby zostać rozwiązany 60 lat ~~temu"~~temu”. [[Bryan Birch]] zauważa, że książka Webera i właściwie cały temat funkcji modularnych, stracił zainteresowanie na pół wieku: ~~"Niestety~~„Niestety w 1952 nie pozostał nikt, kto był wystarczającym ekspertem w ''algebrze'' Webera, by docenić osiągnięcie ~~Heegenera"~~Heegenera”{{odn\|Birch\|2004\|s=4}}. Max Deuring, Carl Ludwig i Sarvadaman Chowla podali niewiele różniące się odmiany dowodu przy użyciu funkcji modularnych w następnym roku po Starku{{odn\|Chowla\|1970}}. Inne wersje z tego gatunku pojawiły się w kolejnych latach. Na przykład w 1985 Monsuru Akangbe Kenku podał dowód używając [[Kwartyka Kleina\|kwartyki Kleina]] (choć również wykorzystuje funkcje modularne){{odn\|Kenku\|1985}}. Ponownie w 1999 Imin Chen podał inny wariant dowodu poprzez funkcje modularne (według szkicu Siegela){{odn\|Chen\|1999}}. Linia 34 ⟶ 32: == Bibliografia == * {{cytuj pismo \| nazwisko=Baker \| imię=Alan \| autor link=Alan Baker \| tytuł=Linear forms in logarithms of algebraic numbers. I \| czasopismo=Mathematica. A Journal of Pure and Applied Mathematics \| wolumin=13 \| wydanie=2 \| rok=1966 \| strony=204–216 \| issn=0025-5793 \| doi=10.1112/S0025579300003971 \| wydawca=University College London \| miejsce=Londyn \| odn=tak}} * {{cytuj książkę \| nazwisko r=Birch \| imię r=Bryan \| autor r link=Bryan Birch \| rozdział=Heegner Points: The Beginnings \| tytuł=Heegner Points and Rankin L-Series \| inni=Edytorzy [[Henri Darmon]] i [[Shou-Wu Zhang]] \| seria=Mathematical Sciences Research Institute Publications \| wydawca=Cambridge University Press \| miejsce=Cambridge, New York \| strony=1–10 \| wolumin=49 \| rok=2004 \| url=http://library.msri.org/books/Book49/files/01birch.pdf \| isbn=0-521-83659-X \| język=en \| odn=tak}} * {{cytuj pismo \| nazwisko=Chen \| imię=Imin \| autor link=Imin Chen \| tytuł=On Siegel's Modular Curve of Level 5 and the Class Number One Problem \| rok=1999 \| czasopismo=Journal of Number Theory \| wolumin=74\| strony=278–297 \| doi=10.1006/jnth.1998.2320 \| język=en \| odn=tak}} * {{cytuj pismo \| nazwisko=Chowla \| imię=Sarvadaman \| autor link=Sarvadaman Chowla \| tytuł=The Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel Theorem \| czasopismo=Journal für die reine und angewandte Mathematik \| rok=1970 \| wolumin=241 \| strony=47–48 \| url=http://eudml.org/doc/150996 \| issn=0075-4102 \| doi=10.1515/crll.1970.241.47 \| język=en \| odn=tak}}

Twierdzenie Starka-Heegnera: Różnice pomiędzy wersjami