Monoid: Różnice pomiędzy wersjami

== Przykłady==

* [[Liczby naturalne]] (koniecznie z zerem) z działaniem [[dodawanie|dodawania]]: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.

* [[Liczby naturalne]] (z zerem bądź bez) z działaniem [[mnożenie|mnożenia]]: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

 

: Jeśli ''S'' ma element neutralny ''e'', to monoidem tym jest <math>M(S) = (S, e, *)</math>,

 

* '''Monoid wolny'''<ref>Milne, op. cit., s. 31</ref>. <math> \left(X^*, \varepsilon, \sim\right)</math> - zbiór słów nad alfabetem <math>\,X\,</math>, z <math>\varepsilon</math> jako słowem pustym i <math>\,\sim\,</math> jako operacją [[konkatenacja|konkatenacji]]. Jeśli <math>X \,=\, \{0, 1\}</math>, to słowami są na przykład: <math>110111,\,011000,\,000,\, 1111</math>, a przykładami konkatenacji są:

:<math>110111\,\sim\,000\,=\, 110111000</math>,

:<math>\varepsilon\,\sim\,000\,=\,000</math>.

* '''Własność uniwersalności monoidu wolnego'''<ref>Milne, op. cit., s. 32</ref>. Po utożsamieniu elementów zbioru ''X'' ze słowami jednoelementowymi można uznać ''X'' za podzbiór monoidu wolnego ''X''*

[[Grafika:Free_monoid-uniwersal_property 1.svg|200px|right|thumb|Uniwersalność monoidu wolnego]]

:<math> \alpha^* : X^* \rightarrow {M}</math>

:dla którego następujący diagram jest [[diagram przemienny|przemienny]].

* Zbiór wszystkich [[funkcja|odwzorowań]] dowolnego zbioru ''M'' w zbiór ''M'' wraz z działaniem [[złożenie funkcji|składania odwzorowań]] tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na ''M''. Półgrupę tę nazywa się często '''pełną półgrupą przekształceń''' lub '''półgrupą symetryczną'''.

* Jeśli <math>\,\mathit{M}\, </math> jest monoidem, <math>\,\mathit{A}\,</math> jest półgrupą, a <math>h: \mathit{M} \rightarrow \mathit{A}</math> jest [[homomorfizm]]em na <math>\,\mathit{A}\,</math>, to <math>\,\mathit{A}\,</math> jest monoidem<ref>Скорняков, op. cit., s. 60</ref>.