Wikipedia

Aksjomat sumy: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobne merytoryczne
zmiany merytoryczne, źródła
Linia 1:
'''Aksjomat sumy''' (<math>Ax \bigcup \mathcal{}</math>) – jeden z [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla]]{{odn|Nowak|2016|s=92}}<ref name="Cichon">[http://cs.pwr.edu.pl/cichon/Materialy/Wstep.pdf Jacek Cichoń, ''Wykłady ze wstępu do matematyki'', s.130]</ref>. ▼
{{dopracować|źródła=2014-08}}
▲'''Aksjomat sumy''' (<math>Ax \bigcup \mathcal{}</math>) – jeden z [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla]]{{odn|Nowak|2016|s=92}}.
 
Aksjomat ten można wypowiedzieć następująco:
== Wersja ogólna ==
:<math> \forall u \exist y \forall x (x \in y \Leftrightarrow \exist z (z \in u \wedge x \in z))</math><ref name="Cichon">[http://cs.pwr.edu.pl/cichon/Materialy/Wstep.pdf Jacek Cichoń, ''Wykłady ze wstępu do matematyki'', s.131, Aksjomat 4]</ref>.
Dla dowolnego zbioru <math>u</math> istnieje taki zbiór <math>y</math>, że – dla dowolnego zbioru <math>x</math> – <math>x</math> jest elementem <math>y</math> wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór <math>z</math> będący elementem <math>u</math> i którego elementem jest <math>x</math>. Formalnie{{odn|Nowak|2016|s=92}}:
:<math> \forall u \exist y \forall x (x \in y \Leftrightarrow \exist z (z \in u \Rightarrow x \in z))</math>.
 
Wykazać można istnienie dokładnie jednego takiego zbioru, który nazywamy wtedy sumą zbioru <math>u</math> i oznaczany jest <math>\bigcup \mathcal{u}</math>{{odn|Nowak|2016|s=92}}.▼
 
== Wersja dla dwóch zbiorów{{fakt}} ==
Dla dowolnych dwóch zbiorów ''A'', ''B'' istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru ''A'' i wszystkie elementy zbioru ''B'' i który nie zawiera żadnych innych elementów. Formalnie można to zapisać następująco:
:<math>\forall A \forall B \exist C \forall x (x\in A \or x\in B \iff x\in C)</math>
 
Z [[Aksjomat ekstensjonalności|aksjomatu ekstensjonalności]] wynika ponadto istnienie co najwyżej jednego takiego zbioru. Istotnie gdyby ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> były zbiorami istniejącymi na mocy aksjomatu sumy dla zbiorów ''A'' i ''B'' to:
:<math> x\in C_1 \iff x\in A \or x\in B \iff x\in C_2 </math>
a zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności mamy ''C''<sub>1</sub> = ''C''<sub>2</sub>.
 
Ten jedyny zbiór nazywamy sumą ''A'' i ''B'' i oznaczamy: <math> A \cup B</math>.
 
▲Wykazać[[Aksjomat możnaekstensjonalności]] istnieniegwarantuje dokładniejednoznaczność jednegowyznaczenia takiego zbioru<ref name="Cichon"/>, który nazywamy wtedy sumą zbioru <math>u</math> i oznaczanyoznaczamy jestsymbolicznie <math>\bigcup \mathcal{u}</math>{{odn|Nowak|2016|s=92}}<ref name="Cichon"/>.
 
Szczególnym wnioskiem wynikającym z tego aksjomatu jest istnienie sumy dwóch zbiorów<ref>[http://logika.uwb.edu.pl/KT/Elementy%20logiki%20i%20teorii%20mnogosci.pdf Krzysztof Trzęsicki, ''Elementy logiki i teorii mnogości'', s.187, Aksjomat 2]</ref> — dla danych dwóch zbiorów: <math>a</math> i <math>b</math> definiujemy <math>a\cup b := \bigcup\{a,b\}</math><ref name="Cichon"/>.
 
{{Przypisy}}
Linia 24 ⟶ 12:
==Bibliografia==
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Indrzejczak | imię = Andrzej | tytuł = Metody logiki. Dedukcja | wydawca = Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego | miejsce = Łódź | data = 2016 | isbn = 978-83-8088-359-8 | nazwisko2 = Nowak | imię2 = Marek | rozdział = Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów | imię r = Marek | nazwisko r = Nowak | autor link2 = Marek Nowak (logik) |odn=tak}}
 
 
[[Kategoria:Aksjomaty Zermela-Fraenkla|Sumy]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_sumy”