m Tarnoob przeniósł stronę Lemat Kuratowskiego–Zorna na Lemat Kuratowskiego-Zorna w miejsce przekierowania: Beno i Wostr sprzeciwiają się poradzie Wolańskiego, którą popieram (półpauza w takich terminach).
{{zobacz też|częściowy porządek|o1=porządek częściowy|porządek liniowy|łańcuch (teoria mnogości)|o3=łańcuch|Kresy dolny i górny#Porządki częściowe|o4=ograniczenie górne|elementy minimalny i maksymalny|o5=element maksymalny}}
Zbiór <math>\scriptstyle P</math> nazywa się ''częściowo uporządkowanym'' przez (dwuargumentową) [[relacja (matematyka)|relację]] <math>\scriptstyle \preccurlyeq</math> (tzw. ''częściowy porządek''), jeśli jest ona [[relacja zwrotna|zwrotna]] (<math>\scriptstyle x \preccurlyeq x</math>), [[relacja antysymetryczna|antysymetryczna]] (<math>\scriptstyle x \preccurlyeq y</math> oraz <math>\scriptstyle y \preccurlyeq x</math> pociągają <math>\scriptstyle x = y</math>) i [[relacja przechodnia|przechodnia]] (<math>\scriptstyle x \preccurlyeq y</math> oraz <math>\scriptstyle y \preccurlyeq z</math> pociągają <math>\scriptstyle x \preccurlyeq z</math>); jeśli <math>\scriptstyle x \preccurlyeq y,</math> to element <math>\scriptstyle y</math> nazywa się ''późniejszym'' od <math>\scriptstyle x</math> (a element <math>\scriptstyle x</math> nazywa się ''wcześniejszym'' od <math>\scriptstyle y</math>).
Podzbiór <math>\scriptstyle C</math> zbioru <math>\scriptstyle P</math> nazywa się ''liniowo uporządkowanym'', jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji <math>\scriptstyle \preccurlyeq;</math> zbiór <math>\scriptstyle C</math> nazywa się wtedy ''łańcuchem'' w <math>\scriptstyle P.</math> Element <math>\scriptstyle u \in P</math> nazywa się ''ograniczeniem górnym'' łańcucha <math>\scriptstyle C,</math> jeśli element <math>\scriptstyle u</math> jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.
Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się ''łańcuchowo zupełnym''; element <math>\scriptstyle m</math> nazywa się ''maksymalnym'' w zbiorze <math>\scriptstyle P,</math> jeśli <math>\scriptstyle m \preccurlyeq x</math> pociąga <math>\scriptstyle x = m</math> dla dowolnego <math>\scriptstyle x \in P.</math>
; Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna
Linia 15:
; Wniosek
: W dowolnej niepustej [[rodzina zbiorów|rodzinie zbiorów]] częściowo uporządkowanej [[podzbiór#Zawieranie|relacją zawierania]], do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny<ref>Jeśli <math>\scriptstyle \mathcal L</math> jest łańcuchem w rodzinie <math>\scriptstyle \mathcal S</math> jak w założeniu, to <math>\scriptstyle \bigcup \mathcal L</math> zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli <math>\scriptstyle \bigcup \mathcal L \in \mathcal S,</math> to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha <math>\scriptstyle \mathcal L</math> w <math>\scriptstyle \mathcal S.</math> W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha <math>\scriptstyle \mathcal S</math> jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element <math>\scriptstyle \mathcal S,</math> czyli w rodzinie <math>\scriptstyle \mathcal S</math> istnieje element maksymalny.</ref>.
