Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

'''Granica funkcji''' – wartość, do której [[Obraz (matematyka)i przeciwobraz|obrazy]] danej [[Funkcja|funkcji]] zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcjonują dwie równoważne definicje podane przez [[Augustin Louis Cauchy|Augustina Louisa Cauchy'egoCauchy’ego]] oraz [[Heinrich Eduard Heine|Heinricha Eduarda Heinego]].

Pojęcie to znane było intuicyjnie już w [[starożytność|starożytności]]. Stosowano je wówczas do obliczania [[pole powierzchni|pól]] [[figura geometryczna|figur geometrycznych]] za pomocą tzw. [[Metoda wyczerpywania|metody wyczerpywania]], która polegała na wpisywaniu w daną figurę geometryczną [[ciąg (matematyka)|ciągu]] figur o znanych polach (pomysł wykorzystywany jest do dzisiaj w nieco zmodyfikowanej formie jako [[całka oznaczona]], np. [[całkaCałka Lebesgue'aLebesgue’a|Lebesgue'aLebesgue’a]]). [[Łacina|Łaciński]] termin oznaczający granicę, ''„limes”'', pojawił się w [[XVII wiek]]u w pracach [[Isaac Newton|Newtona]] oraz [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniza]] w związku z próbami uściślenia tego pojęcia.

Funkcja <math>f\colon A \to \mathbb R</math> określona na [[zbiór|zbiorze]] <math>A \subseteq \mathbb R</math> ma w [[punkt skupienia zbioru|punkcie skupienia]] <math>x_0</math> tego zbioru '''granicę''' równą <math>g,</math>, jeżeli spełniony jest jeden z równoważnych warunków

: dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ , x_n \in A,\ x_n \ne x_0</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0,</math> ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> gdy <math>n \to \infty,</math> ,

'''2. definicja Cauchy'egoCauchy’ego:'''

: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon),</math> ,

: co czytamy następująco: dla każdej liczby <math>\varepsilon > 0</math> istnieje liczba <math>\delta > 0</math> taka, że dla każdego <math>x \in A</math> z nierówności <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> wynika nierówność <math>|f(x) - g| < \varepsilon.</math> .

: <math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0</math>

:lub

: <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=g,</math>,

co czytamy: granicą funkcji <math>f</math> dla <math>x</math> dążącego do <math>x_0</math> jest liczba <math>g.</math>.

: <math>f(x) \to g</math> przy <math>x \to x_0^-\;</math> (odpowiednio: <math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0^+</math> )

: <math>\lim_{x \to x_0^-}~f(x)=g\;</math> (odpowiednio: <math>\lim_{x \to x_0^+}~f(x) = g</math>),

; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla dowolnego <math>n\in\Bbb N\ x_n \in A,\ x_n < x_0</math> (odpowiednio: <math>\ x_n > x_0</math>) &nbsp; oraz <math>\lim_{n \to\infty}~x_n = x_0\;,</math>, <br />ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>g</math> przy <math>n \to \infty;</math>

; definicja Cauchy'ego Cauchy’ego: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 - \delta < x < x_0 \implies |f(x) - g| < \varepsilon)\;</math> (odpowiednio: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (x_0 < x < x_0 + \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon)</math>).

Funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> '''granicę niewłaściwą''' <math>+\infty,</math>, co zapisuje się

: <math>f(x) \to +\infty</math> przy <math>x\to x_0</math><br />

: <math>\lim_{x \to x_0}~f(x) = +\infty,</math><br />

; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że <math>x_n \in A, x_n \ne x_0</math> oraz <math>\lim_{n \to \infty}~x_n = x_0</math> ciąg wartości funkcji <math>(f(x_n))</math> dąży do <math>+\infty</math> przy <math>n \to +\infty;</math>

; definicja Cauchy'ego Cauchy’ego: <math>\forall_{M>0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies f(x) > M).</math>

Analogicznie definiuje się i oznacza się '''granicę niewłaściwą''' <math>-\infty</math>: trzeba tylko wszędzie zamienić <math>+\infty</math> na <math>-\infty,</math>, a definicję Cauchy'egoCauchy’ego zapisać tak:

Funkcja <math>f</math> określona dla wszystkich <math>x > a\;</math> (odpowiednio: <math> x < a)</math>) ma granicę <math>g\;</math> w '''plus''' (odpowiednio: '''minus''') '''nieskończoności''', co zapisuje się

: <math>f(x) \to g</math> przy <math>x \to +\infty\;</math> (odpowiednio: <math>x \to -\infty</math>) <br />

: <math>\lim_{x \to +\infty}~f(x) = g\;</math> (odpowiednio: <math>\lim_{x \to -\infty}~f(x) = g</math>), <br />

; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla każdego <math>n\in\Bbb N\ x_n > a\; </math> oraz <math>x_n \to +\infty\; </math> (odpowiednio: dla każdego <math>n\in\Bbb N\ x_n < a\;</math> oraz <math>x_n \to -\infty\ </math>),<br />ciąg wartości funkcji <math>f(x_n)</math> dąży do <math>g</math> przy <math>n \to \infty;</math>

; definicja Cauchy'egoCauchy’ego

: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha} \; |f(x) - g| < \varepsilon\;\;</math> (odpowiednio <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x < \alpha}\; |f(x) - g| < \varepsilon</math> ).

Funkcja <math>f</math> określona na przedziale <math>(a, +\infty)</math> ma '''w nieskończoności granicę niewłaściwą''' <math>+\infty,</math>, co zapisuje się <br />

: <math>f(x) \to +\infty</math> przy <math>x \to +\infty</math> <br />

: <math>\lim_{x \to +\infty}~f(x) = +\infty,</math>Funkcja <brmath>f</math> określona na przedziale <math>(a, +\infty)</math> ma '''w nieskończoności granicę niewłaściwą''' <math>+\infty,</math> co zapisuje się

; definicja Heinego : dla każdego ciągu <math>(x_n)</math> takiego, że dla każdego <math>n\in\Bbb N\ x_n>a</math> oraz <math>x_n \to +\infty,</math> ciąg wartości funkcji <math>f(x_n)</math> dąży do <math>+\infty</math> przy <math>n \to \infty;</math>

; definicja Cauchy'ego Cauchy’ego: <math>\forall_{M > 0}\; \exists_{\alpha \in \mathbb R}\; \forall_{x > \alpha}\; f(x) > M.</math>

* Jeśli funkcje <math>f</math> i <math>g,</math>, określone na zbiorze <math>A \subseteq \mathbb R,</math>, mają granice właściwe <math>\lim_{x \to x_0}~f(x) = a</math> i <math>\lim_{x \to x_0}~g(x) = b,</math>, to:

** <math>\lim_{x \to x_0}~\tfrac{f(x)}{g(x)} = \tfrac{a}{b},</math> gdy <math>g(x) \ne 0</math> oraz <math>b \ne 0.</math><br />

: Jeśli funkcja <math>f\colon A \to \mathbb R</math> ma w punkcie <math>x_0</math> granicę <math>\lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0,</math>, funkcja <math>g\colon B \to \mathbb R</math> ma w punkcie <math>y_0</math> granicę <math>\lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0,</math>, przy czym <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są odpowiednio punktami skupienia zbiorów <math>A \cap f^{-1}(B)</math> oraz <math>B,</math>, przy czym <math>f(x) \ne y_0</math> dla każdego <math>x</math> z pewnego [[SąsiedztwoOtoczenie punktu(matematyka)|sąsiedztwa]] punktu <math>x_0,</math>, to <math>\lim_{x \to x_0}~(g\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0.</math>.

* [[granicagranice dolna i górna]]

* {{cytuj książkę| tytuł = Encyklopedia szkolna – matematyka | wydawca = [[Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne|WSiP]] | miejsce = Warszawa | rok = 1996 | isbn = 83-02-02551-8}}