Hamiltonian: Różnice pomiędzy wersjami

'''Hamiltonian''' (funkcja [[William Rowan Hamilton|Hamiltona]]) – funkcja [[współrzędne uogólnione|współrzędnych uogólnionych]] i [[Pęd (fizyka)|pędów uogólnionych]], opisująca układ fizyczny

: <math>H = H\left( q_1, \dots, q_N, p_1, \dots, p_N, t \right)</math>

 

* z wyrażenia na energię całkowitą układu

* z funkcji Lagrange'a (za pomocą tzw. transformacji Legendre'a)

przy czym należy zastępując prędkości występujące w wyrażeniach na energię czy funkcję Lagrange'a za pomocą pędów.

 

(1) Jeżeli cząstka o masie <math>m</math>porusza się z prędkością nierelatywistyczną w potencjale <math>V</math>, to energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej w postaci

: <math>E=\frac{m\mathbf v^2}{2}+V(\mathbf q)</math>

Ponieważ <math>\mathbf v=\frac{\mathbf p}{m}</math> , to funkcja Hamiltona przyjmuje postać:

: <math>\mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\frac{\mathbf p^2}{2\,m}+V(\mathbf q)</math>

(2) Dla cząstki relatywistycznej, swobodnej (tj. nie oddziałującej z żadnym polem potencjału) związek między energią i pędem ma postać

: <math>E=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}</math>

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

: <math>\mathcal H(t, \mathbf q, \mathbf p)=\sqrt{m^2\,c^4+\mathbf p^2\,c^2}</math>

Energia całkowita [[Oscylator harmoniczny|oscylatora harmonicznego]] poruszającego się w kierunku <math>x</math> ma postać

: <math>E = \frac{m v^2}{2} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 </math>

Stąd funkcja Hamiltona ma postać

: <math>\mathcal H(x, p) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 </math>

== Wyznaczanie funkcji Hamiltona z funkcji Lagrange'a ==

Funkcję Hamiltona można otrzymać z [[Lagranżjan|funkcji Lagrange'a]]

: <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t)</math>

 

* <math>\dot q_j</math> – prędkość uogólniona

* <math>t</math> – czas

Dla każdej prędkości uogólnionej <math>q_j</math> wyznacza się odpowiadający jej pęd uogólniony <math>p_j </math>(tzw. '''pęd kanonicznie sprzężony'''), zdefiniowany jako pochodna funkcji Lagrange'a po prędkości uogólnionej <math>\dot q_j</math>

: <math>p_j = {\partial \mathcal{L} \over \partial \dot{q}_j}</math>

 

Hamiltonian można znaleźć teraz z funkcji Lagrange'a za pomocą tzw. '''transformacji Legendre'a'''

: <math>H\left( q_1,..., q_N, p_1,..., p_N, t \right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L( q_1,\dots, q_N, \dot{q}_1,\dots,\dot{q}_N, t )</math>

 

 

3) W ogólnym przypadku pędy uogólnione mogą nie posiadać prostej interpretacji fizycznej, co wynika z dowolności wyboru współrzędnych uogólnionych.

== Zobacz też ==

{{Wikisłownik|hamiltonian}}