Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

m
drobne techniczne
(→‎Podstawienia Eulera: usunięcie pierwszej osoby, jęz.)
m (drobne techniczne)
* Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w przedziale <math>I</math>, tzn. <math>G'(t) = g(t)</math> dla <math>t</math> należących do <math>I</math>
* <math>f(x) = g(\psi(x)) \cdot \psi'(x), x \in D</math>
 
to funkcja <math>f</math> jest całkowalna w <math>D</math> oraz:
:<math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math>
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
:<math>\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx</math>,
 
to można zmienić podstawę całkowania na <math>g(x)</math>:
:<math>\int f(g(x)) dg(x)</math>.
* <math>g'(x) \ne 0</math> dla każdego <math>x</math> z przedziału <math>(a; b)</math>.
* Obraz funkcji <math>g</math> zawiera się w dziedzinie funkcji <math>f</math>.
 
Wówczas:
:<math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}^{b}f(g(t)) \cdot g'(t)dt</math>
:<math>{x \over 2}=\operatorname{arctg}t</math>
:<math>dx = {2 \over 1+t^2}dt</math>
 
zachodzi:
:<math>\sin x = \frac{2 \sin {x \over 2} \cos {x \over 2}}{\sin^2 {x \over 2} + \cos^2 {x \over 2}} = \frac{2 \frac{\sin {x \over 2}}{\cos {x \over 2}}}{\frac {\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}</math>
 
:<math>\cos x = \frac{\cos^2 {x \over 2} - \sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2} + \sin^2 {x \over 2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}}{1+\frac{\sin^2 {x \over 2}}{\cos^2 {x \over 2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>
</math>
 
W przypadku podstawienia <math>t = \operatorname{tg}x</math> mamy dla funkcji postaci <math>R(\sin ^2 x, \cos ^2 x, \sin x \cos x)</math>:
: <math>x = \operatorname{arctg}t</math>, <math>dx=\frac{dt}{1+t^2}</math>
 
: <math>\sin ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}</math>
 
:<math>\cos ^2 x = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}</math>
=== Podstawienia Eulera ===
Podstawienia [[Leonhard Euler|Eulera]] stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci <math>R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x)</math>, gdzie R jest [[funkcja wymierna|funkcją wymierną]].
 
==== I podstawienie Eulera ====
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x</math>. Wobec tego otrzymuje się:
 
:<math>ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t}</math>,
 
==== II podstawienie Eulera ====
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}</math>. Zachodzi:
 
Zachodzi:
: <math>ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2}</math>,
 
: <math>dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt</math>.
 
Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}</math>.
 
Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t-\sqrt{\lambda}</math>.
 
Wtedy gdy <math> (a>0) \vee (b^2-4ac>0)</math>, to da się tak dobrać <math>\alpha</math>,
Wtedy gdy <math> (a>0) \vee (b^2-4ac>0)</math>, to da się tak dobrać <math>\alpha</math>, aby <math>\lambda>0</math>.
 
==== III podstawienie Eulera ====
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x<sub>0</sub>, x<sub>1</sub> trójmianu <math>ax^2+bx+c</math>. Przyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1)</math>. Stąd:
: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1)</math>. Stąd:
 
:<math>(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}</math>,
[[forma różniczkowa|Różniczka dwumienna]] jest to wyrażenie postaci: <math>x^m(a+bx^n)^pdx</math>, gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz <math>m, n</math> i <math>p</math> są pewnymi [[liczby wymierne|liczbami wymiernymi]]. Niech ponadto <math>p = \frac{q}{r}</math>, gdzie <math>q, r</math> są liczbami [[liczby całkowite|całkowitymi]]. Twierdzenie [[Pafnutij Czebyszew|Czebyszewa]] mówi, iż całkę
:<math>\int x^m(a+bx^n)^p~dx</math>
 
można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
* gdy <math>p</math> jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
=== Podstawienia trygonometryczne ===
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
 
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{sinh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{tan} t</math>
* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> - podstawiamy <math>x = a \operatorname{cosh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{sec} t</math>