Całka Riemanna: Różnice pomiędzy wersjami

Niech dana będzie funkcja ograniczona <math> f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> [[Kresy dolny i górny]] funkcji <math> f</math> w danym podprzedziale <math> P_i</math> podziału <math> P</math> przedziału <math> [a, b]</math> oznaczane będą odpowiednio symbolami

: <math>m_{f, P_i} = \inf_{x \in P_i} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad M_{f, P_i} = \sup_{x \in P_i} f(x);</math>

różnicę tych liczb

: <math>\omega_{f, P_i} = M_{f, P_i} - m_{f, P_i}</math>

nazywa się ''oscylacją'' funkcji <math> f</math> na przedziale <math> P_i.</math>

 

Odpowiednio ''sumą dolną'' i ''górną'' (Darboux) nazywa się liczby

: <math>L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n m_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \quad\mbox{ oraz }\quad U_{f, P} = \sum_{i = 1}^n M_{f, P_i} \cdot \Delta p_i .</math>

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie ''całki dolnej'' i ''górnej'' (Darboux) funkcji <math> f</math> jako odpowiednio

: <math>L_f = \sup\bigl\{L_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}</math>

oraz

: <math>U_f = \inf\bigl\{U_{f, P}\colon P \mbox{ jest podziałem } [a, b]\bigr\}.</math>

O funkcji <math> f</math> mówi się, że jest ''całkowalna w sensie Darboux'' lub krótko ''D-całkowalną'', jeżeli <math> L_f = U_f;</math> wówczas tę wspólną wartość <math> D_f</math> całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu '''całką Darboux'''.

 

Funkcję <math> f</math> nazywa się ''całkowalną w sensie Riemanna'' lub krótko ''R-całkowalną'', jeśli dla dowolnego ciągu normalnego <math> (P^k)</math> podziałów przedziału <math> [a, b],</math> istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica<ref group=uwaga name=note02>Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech <math> (S^k)</math> oraz <math> (U^k)</math> będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału <math> [a,b].</math> Ciąg podziałów <math> (P^k)</math> zdefiniowany jako <math> S^1, U^1, S^2, U^2, S^3, U^3, \dots</math> jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica <math> \lim\limits_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q^k_1, \dots, q^k_{n_k}\right)}</math> istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów <math> \left(P^{2m}\right)</math> i <math> \left(P^{2m+1}\right)</math> granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc <math> \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, S_k} = \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, U_k}.</math></ref>

: <math>R_f = \lim_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q_1^k, \dots, q_{n_k}^k\right)}</math>

nazywana wtedy '''całką Riemanna''' tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba <math> R_f,</math> że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math> \varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba rzeczywista <math> \delta > 0,</math> że dla dowolnego podziału <math> P(q_1, \dots, q_n)</math> o średnicy <math> \mathrm{diam}\; P(q_1, \dots, q_n) < \delta;</math> bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math> \varepsilon > 0</math> istnieje taki podział <math> S(t_1, \dots, t_m)</math> przedziału <math> [a, b],</math> że dla każdego podziału <math> P(q_1, \dots, q_n)</math> rozdrabniającego <math> S(t_1, \dots, t_m)</math> zachodzi

: <math>\left|R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} - R_f\right| < \varepsilon.</math>

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi <math> P(q_1, \dots, q_n)</math> i odpowiadającego mu podziału <math> P</math> bez punktów pośrednich odcinka <math> [a, b]</math> zachodzi

: <math>L_{f, P} \leqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \leqslant U_{f, P};</math>

więcej, są to kresy dolne i górne wartości <math> R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> odpowiadającej podziałowi <math> P(q_1, \dots, q_n)</math> z dowolnymi punktami pośrednimi<ref group=uwaga name=note03>Niech <math> \varepsilon > 0;</math> wyznaczając <math> q_i \in P_i</math> tak, by <math> f(q_i) \geqslant M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)</math> otrzymuje się

:<math> \begin{align} & R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i \geqslant \\&\geqslant \sum_{i = 1}^n \left(M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)\right) \cdot \Delta p_i = U_{f, P} - \varepsilon \end{align} </math>,

co z dowolności <math> \varepsilon > 0</math> oraz oszacowania <math> U_{f, P} \geqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że <math> L_{f, P}</math> jest kresem dolnym <math> R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}.</math></ref>.

 

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. <math> L_f = U_f,</math> to istnieje również <math> R_f = D_f,</math> tak więc

: <math>U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i=1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon</math>

dla dowolnego podziału <math> P,</math> pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

 

Symbol całki {{unicode|∫}} powstał z [[minuskuła|minuskuły]] ſ (tzw. „[[długie s|długiego s]]”)<ref group=uwaga name=note04>Zob. również tzw. „[[esz (litera)|esz]]” ʃ.</ref> używanej przez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]] w łacińskim słowie ''summa'', oznaczającym sumę, które pisał on ''ſumma''. Dla funkcji <math> f\colon [a, b] \to \mathbb R</math> całki Darboux górną <math> U_f</math> i dolną <math> L_f</math> oznacza się zwykle odpowiednio symbolami

: <math>\overline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad \underline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx,</math>

zaś samą całkę Darboux <math> D_f</math> oraz całkę Riemanna <math> R_f</math> dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,

: <math>(\mathrm D) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad (\mathrm R) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.</math>

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.</math>

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej <math> f \colon [a, b] \to \mathbb R,</math> gdzie <math> a \leqslant b,</math> będą dane jej [[kresy dolny i górny]] oraz kres górny [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]]:

: <math>m_f = \inf_{x \in [a, b]} f(x), \qquad M_f = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \quad\mbox{ oraz }\quad K_f = \sup_{x \in [a, b]} \bigl|f(x)\bigr|.</math>

Wówczas<ref group=uwaga name=note05>Dla dowolnego podziału <math> P(q_1, \dots, q_n)</math> oraz dowolnej sumy <math> R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> zachodzi <math> m_f \leqslant f(q_i) \leqslant M_f</math> (<math> i = 1, \dots, n</math>), zatem <math> m_f(b - a) \leqslant R_f \leqslant M_f(b - a),</math> gdyż <math> b - a = \Delta p_1 + \dots + \Delta p_n.</math></ref>

: <math>m_f(b - a) \leqslant \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \leqslant M_f(b - a),</math>

skąd też<ref group=uwaga name=note06>Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności <math> -K_f \leqslant m_f \leqslant M_f \leqslant K_f.</math></ref>

: <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx\right| \leqslant K_f(b - a),</math>

zaś dla funkcji <math> f</math> spełniającej <math> f(x) \geqslant 0</math> dla wszystkich <math> x \in [a, b]</math> zachodzi<ref group=uwaga name=note07>Wynika wprost z powyższego, gdyż <math> m_f \geqslant 0.</math></ref>

: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \geqslant 0.</math>

Jeśli <math> f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na <math> [a, x]</math> dla dowolnego <math> x \in [a, b],</math> a funkcja <math> F\colon [a,b] \to \mathbb R</math> dana wzorem

: <math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\; \mathrm dt</math>

jest [[funkcja ciągła|ciągła]] na <math> [a, b]</math> i [[pochodna funkcji|różniczkowalna]] w każdym punkcie ciągłości funkcji <math> f.</math>

 

Z [[#Równoważność|równoważności konstrukcji]] funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja <math> f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> Każda [[funkcja ciągła]] <math> f</math> jest całkowalna<ref group=uwaga name=note09>Funkcja <math> f</math> jest [[funkcja jednostajnie ciągła|jednostajnie ciągła]] (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego <math> \varepsilon > 0</math> istnieje podział <math> P</math> odcinka <math> [a, b]</math> o oscylacjach <math> \omega_{f, P_i} < \varepsilon/(b - a)</math> (<math> i = 1, \dots, n</math>); stąd <math> U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon/(b - a) \sum_{i = 1}^n \Delta p_i = \varepsilon,</math> zatem funkcja <math> f</math> jest D-całkowalna.</ref>; podobnie, gdy <math> f</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]]<ref group=uwaga name=note10>Niech dla ustalenia uwagi funkcja <math> f</math> będzie [[funkcja monotoniczna|niemalejąca]]; jeśli <math> P</math> jest podziałem <math> [a, b]</math> spełniającym <math> \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon</math> dla dowolnie wybranego <math> \varepsilon > 0,</math> to

:<math> \omega_{f, P_i} < f(p_i) - f(p_{i-1})</math> (<math> i = 1, \dots, n</math>),

czyli

:<math> \begin{align} & U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \leqslant\\& \leqslant \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \\& \leqslant \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon \end{align} </math>,

skąd wynika D-całkowalność funkcji <math>f</math>.</ref>.

 

 

[[Plik:Improper integral.svg|thumb|Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.]]

=== Całka niewłaściwa ===

{{Osobny artykuł|całka niewłaściwa}}