Wikipedia

Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
mNie podano opisu zmian
Linia 112:
'''(4)''' [[całka Pettisa#Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa|Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa]] (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) - przestrzeń unormowana, ale niezupełna.
 
== MetrykaNorma indukowanaa przezmetryka normęi topologia ==
 
=== Metryka indukowana przez normę ===
W przestrzeni unormowanej <math>X</math> wzór
 
Linia 119 ⟶ 121:
dla <math>x, y \in X</math> definiuje [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] na przestrzeni <math>X.</math>Mówimy, że '''norma indukuje metrykę'''.
 
=== Topologia generowanaindukowana przez normę ===
Topologia generowanaindukowana przez normę przestrzeni <math>X</math> jest ''liniowa'' w tym sensie, że przestrzeń liniowa <math>X</math> wraz z tą topologią tworzy ''przestrzeń liniowo-topologiczną'' (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są [[funkcja ciągła|ciągłe]] w sensie [[topologia produktowa|topologii produktowych]], odpowiednio w ''X'' × ''X'' i ''K'' × ''X''), która jest ponadto [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukła]]L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z [[zbiór wypukły|absolutnie wypukłych]] [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] jest rodzina
 
: <math>\mathcal B_0 = \Big\{\overline B\left(0, \tfrac{1}{n}\right)\colon n = 1, 2, \dots\Big\}</math>
Linia 128 ⟶ 130:
Z drugiej strony, tzw. ''kryterium Kołmogorowa'' podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są ''normowalne''): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń T1|''T''<sub>1</sub>]] oraz zawiera [[zbiór wypukły|wypukłe]] i [[zbiór ograniczony|ograniczone]] otoczenie zera<ref>A. Kołmogorow, ''Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes'', Studia Math. vol. 5 (1934), s. 29–33.</ref> ([[funkcjonał Minkowskiego]] wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).
 
=== Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów ===
{{osobny artykuł|norma operatora|przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)}}
{{Zobacz też|przestrzeń refleksywna}}
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrzeń_unormowana”