Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Wydzielono osobny rozdział dotyczący podprzestrzeni |
|||
Linia 109:
*: dla każdego <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi <math>(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v).</math>
== Baza i wymiar przestrzeni liniowej ==
{{osobny artykuł|podprzestrzeń liniowa|baza (przestrzeń liniowa)}}
==== Definicja podprzestrzeni ====▼
[[zbiór pusty|Niepusty]] [[podzbiór]] <math>W</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:▼
# przestrzeń <math>W</math> jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,▼
#: jeżeli <math>\mathbf u, \mathbf v \in W,</math> to <math>\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in W</math>▼
# przestrzeń <math>W</math> jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,▼
#: jeżeli <math>a \in K, \mathbf v \in V,</math> to <math>a\mathbf v \in V.</math>▼
:Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).▼
==== Definicja powłoki liniowej ====
Linia 128 ⟶ 116:
:[[Część wspólna]] wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> nazywa się jego [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|powłoką (liniową)]] lub [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|otoczką (liniową)]].
==== Definicja rozpinania
:Mówi się, że dany zbiór wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> '''rozpina
==== Definicja liniowej niezależności wektorów ====
:Jeżeli spośród wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> rozpinających daną
==== Definicja bazy przestrzeni liniowej ====
Linia 164 ⟶ 152:
Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.
==== Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r)
:Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z [[aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]]<ref>Blass, Andreas. ''Existence of bases implies the axiom of choice''. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.</ref>.
'''Definicja 1:'''
▲:[[zbiór pusty|Niepusty]] [[podzbiór]] <math>W</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
▲# przestrzeń <math>W</math> jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
▲#: jeżeli <math>\mathbf u, \mathbf v \in W,</math> to <math>\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in W</math>
▲# przestrzeń <math>W</math> jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
▲#: jeżeli <math>a \in K, \mathbf v \in V,</math> to <math>a\mathbf v \in V.</math>
'''Definicja 2 (równoważna)'''
▲:Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).
Wynika stąd, że:
:Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.
== Przykłady ==
| |||