Funkcja homograficzna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Dziedzina i zbiór wartości: Usuwam definicje działań z elementem ∞. Takie definicje w abstrakcyjnych ciałach nie mają sensu, bo i tak nie definiują nowej struktury algebraicznej, A ponieważ sprytnie omijają wyrażenia nieoznaczone typu ∞/∞, 0/0, 0•∞, ∞-∞, więc nie wiadomo, jak liczyć, i nie wiadomo, jak wyznaczyć np. wartości dla f(∞)=a/c. Są to w istocie własności granic niewłaściwych w R luc C |
drobne redakcyjne, drobne merytoryczne |
||
Linia 5:
:<math>ad-bc\ne 0\;</math><ref name="UEPWN">Uniwersalna Encyklopedia PWN, Wydawnictwo Naukowe PWN SA, wydanie elektroniczne 2008, wersja 1</ref><ref name="Europa">{{cytuj książkę|tytuł=Słownik encyklopedyczny – matematyka|wydawca=Wydawnictwo Europa|strony=69|rok=1998|miejsce=Wrocław|isbn=83-85336-06-0}}</ref>
gwarantujący, że funkcja <math>f(x)\;</math> nie redukuje się do [[funkcja stała|funkcji stałej]].
Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego [[ciało (matematyka)|ciała]] <math>K \;</math>, jako funkcję <math>f: K \rightarrow K</math>, gdzie <math>a, b, c, d \in K</math>. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla podciał [[liczba zespolona|ciała liczb zespolonych]] ( np. [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] lub
Niektóre źródła nie zaliczają do homografii [[funkcja liniowa|funkcji liniowych]] poprzez dodanie warunku
:<math>c\ne 0</math> <ref name="Pogorzelski">{{cytuj książkę|imię=Witold|nazwisko=Pogorzelski|tytuł=Analiza matematyczna|miejsce=Warszawa|rok=1953|wydawca=PWN|tom=I|strony=55}}</ref><ref name="Bronsztejn">{{cytuj książkę|imię=I.N.|nazwisko=Bronsztejn|imię2=K.A.|nazwisko2=Siemiendiajew|tytuł=Matematyka. Poradnik encyklopedyczny|miejsce=Warszawa|rok=1976|wydawca=PWN}}</ref>.
Większość źródeł traktuje jednak funkcje liniowe jako szczególny przypadek homografii,
▲Funkcję homograficzną można określić dla dowolnego [[ciało (matematyka)|ciała]] <math>K \;</math>, jako funkcję <math>f: K \rightarrow K</math>, gdzie <math>a, b, c, d \in K</math>. W szczególności funkcja homograficzna może być określona dla ciała [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] lub ciała [[liczby wymierne|liczb wymiernych]].
== Dziedzina i zbiór wartości ==
Linia 16:
* jest określona dla <math>x\ne -\frac{d}{c}</math>, czyli poza miejscem zerowym mianownika,
* nie przyjmuje wartości <math>\frac{a}{c}</math>, bo wtedy byłaby spełniona równość
::<math>\frac{ax + b}{cx + d} - \frac{a}{c} = \frac{bc - ad}{c(cx + d)} = 0</math>
:która jest sprzeczna z tym, że <math>bc - ad \ne 0</math>.
Funkcja homograficzna <math>f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}</math>, określona na ciele <math>K\;</math>, gdzie <math>c = 0 \,</math>:
* jest określona dla dowolnego <math>x</math>,
* przyjmuje wartości dowolne wartości.
Jeśli powiększymy ciało <math> K </math> o pewien element <math>\infty</math>, nazywany [[punkt w nieskończoności|punktem w nieskończoności]], to na zbiorze
Linia 28 ⟶ 32:
== Różnowartościowość homografii ==
Homografia
Istotnie, jeśli
<math>f(x_1)=f(x_2)\,</math> czyli
:<math>\frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d}</math>
to
:<math>(ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d)\,</math>
Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy
a ponieważ <math>
:<math>x_1=x_2\,</math>
▲więc <math>x_1=x_2\,</math>
== Grupowe własności funkcji homograficznej ==
Linia 82 ⟶ 81:
Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:
Translacja: <math>
Inwersja: <math>
Jednokładność: <math>
Translacja: <math>
Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:
Jednokładność: <math>
Translacja: <math>
W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz <math>2 \times 2</math> może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci
| |||