Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Vector space illust.svg|thumb|Przestrzeń liniowa to zbiór elementów (nazywanych ''wektorami''), które mogą być skalowane i dodawane.]]

'''Przestrzeń liniowa''' lub '''wektorowa''' – [[zbiór]] elementów (nazywanych [[wektor]]ami), w którym określono dwa [[Działanie dwuargumentowe|działania]]:

* '''dodawanie''' wektorów

* '''skalowanie''' wektorów czyli mnożenie wektorów przez liczby (nazywane skalarami) z ustalonego [[Ciało (matematyka)|ciała]]

 

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]]:

* wektory utożsamiane są tu odpowiednio z [[Para uporządkowana|parami]] i [[Rekord (informatyka)|trójkami]] uporządkowanymi [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]

* wektory reprezentowane są za pomocą [[Wektor|wektorów geometrycznych]] (charakteryzowanych przez kierunek, zwrot oraz wartość, zwykle przedstawianych jako strzałki)

 

('''1''') '''dodawanie wektorów''': działanie z [[Iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] zbioru <math>V</math> na zbiór <math>V</math>, <math>+: V \times V \to V</math>, które dowolnym wektorom <math>\mathbf v, \mathbf w \in V</math>przyporządkowuje pewien wektor <math>u\in V</math>, nazywany sumą wektorów <math>\mathbf v, \mathbf w\, </math>, co symbolicznie zapisuje się w postaci

: <math>\mathbf u=\mathbf v + \mathbf w</math>

 

('''2''') '''[[mnożenie przez skalar]]''': działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru <math>V</math> i ciała <math>K</math>, <math>K \times V \to V</math>, które dowolnemu wektorowi <math>\mathbf v\in V</math>i dowolnej liczbie <math>a \in K</math> przyporządkowuje pewien wektor <math>u\in V</math>, co symbolicznie zapisuje się w postaci

: <math>\mathbf u=a\,\mathbf v </math>

 

przy czym działania te spełniają poniższe '''aksjomaty''':

# Dodawanie wektorów jest [[łączność (matematyka)|łączne]], tj. dla dowolnych <math>\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in V</math> jest

#:

== Informacje uzupełniające ==

('''1''') Formalnie '''przestrzeń liniowa nad ciałem''' <math>K</math> jest [[Struktura matematyczna|strukturą matematyczną]] <math>(V, K, +, \cdot, \boldsymbol +, \boldsymbol \cdot),</math> w której:

* <math>(V, \boldsymbol +)</math> jest [[Grupa przemienna|grupą abelową]] (aksjomaty 1–4),

* <math>(K, +, \cdot)</math> jest [[Ciało (matematyka)|ciałem]],

 

('''3''') Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty [[Działanie algebraiczne|domkniętości]]:

# Przestrzeń <math>V</math> jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,

#: jeżeli <math>\mathbf u, \mathbf v \in V,</math> to <math>\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in V.</math>

 

'''Tw. 1''': Wektor zerowy <math>\boldsymbol 0 \in V</math> jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli

:<math>\boldsymbol 0_1 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v</math> oraz <math>\boldsymbol 0_2 \boldsymbol + \mathbf v = \mathbf v,</math>

:to:

 

'''Tw. 2''': Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego <math>a \in K</math> jest:

:<math>a\,\boldsymbol 0 = \boldsymbol 0</math>

 

'''Tw. 3''': Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi

:<math>0\,\mathbf v = \boldsymbol 0,</math>

 

 

'''Tw. 4''': Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.

:<math>a\mathbf v = \boldsymbol 0</math>

:wtedy i tylko wtedy, gdy

 

'''Tw. 5''': Wektor <math>\boldsymbol -\mathbf v</math> odwrotny względem dodawania do <math>\mathbf v</math> jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli

:<math>\mathbf{w_1}, \mathbf{w_2}</math> są odwrotnościami <math>\mathbf v \in V</math> takimi, że

:<math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_1} = \boldsymbol 0</math> oraz <math>\mathbf v \boldsymbol + \mathbf{w_2} = \boldsymbol 0,</math>

:to

:<math>\mathbf{w_1} = \mathbf{w_2}</math>

 

'''Definicja (różnicy wektorów):'''

: Różnicą wektora <math>\mathbf u </math> i wektora <math>\mathbf v </math> nazywa się wektor, który jest sumę wektora <math>\mathbf u </math> i wektora przeciwnego do wektora <math>\mathbf v </math>, tj.

:<math>\mathbf u \boldsymbol - \mathbf v =\mathbf u \boldsymbol + (\boldsymbol -\mathbf v)</math>

 

'''Tw. 6''': Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego <math>\mathbf v \in V</math> mamy

:<math>(-1)\mathbf v = \boldsymbol-\mathbf v,</math>

 

 

'''Tw. 7''': Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego <math>a \in K</math> oraz <math>\mathbf v \in V</math> zachodzi

:<math>(-a)\mathbf v = a(\boldsymbol -\mathbf v) = \boldsymbol -(a\mathbf v).</math>

 

 

=== Definicja powłoki liniowej ===

:[[Część wspólna]] wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> nazywa się jego [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|powłoką (liniową)]] lub [[Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa|otoczką (liniową)]].

 

=== Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów ===

:Mówi się, że dany zbiór wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> '''rozpina przestrzeń liniową''' jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.

 

=== Definicja liniowej niezależności wektorów ===

:Jeżeli spośród wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math> rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest [[Liniowa niezależność|liniowo niezależny]].

 

=== Definicja bazy przestrzeni liniowej ===

:Bazą przestrzeni <math>V\,</math>nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów <math>v_1,v_2,\cdots,v_n</math>, który rozpina przestrzeń <math>V</math>.

 

=== Twierdzenie o istnieniu bazy ===

:Każda przestrzeń liniowa ma bazę.

 

 

=== Twierdzenie o równoliczności baz ===

:Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są [[Moc zbioru|równoliczne]].

 

 

=== Definicja wymiaru przestrzeni liniowej ===

:Jeśli <math>V</math> jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni <math>V</math>

 

 

=== Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r) ===

:Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z [[Aksjomat wyboru|aksjomatem wyboru]]<ref>Blass, Andreas. ''Existence of bases implies the axiom of choice''. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31–33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.</ref>.

 

== Definicja podprzestrzeni ==

{{osobny artykuł|podprzestrzeń liniowa|baza (przestrzeń liniowa)}}'''Definicja 1:'''

:[[Zbiór pusty|Niepusty]] [[podzbiór]] <math>W</math> przestrzeni liniowej <math>V</math> zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:

# przestrzeń <math>W</math> jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,

#: jeżeli <math>\mathbf u, \mathbf v \in W,</math> to <math>\mathbf u \boldsymbol + \mathbf v \in W</math>

 

'''Definicja 2 (równoważna)'''

:Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).

 

Wynika stąd, że:

:Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.

 

: <math>(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) \oplus (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) = (\mathbf{v_1} \boldsymbol + \mathbf{v_2}, \mathbf{w_1} \boldsymbol + \mathbf{w_2}),</math>

: <math>a \odot (\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}) = (a\mathbf{v_1}, a\mathbf{w_1}),</math>

dla <math>(\mathbf{v_1}, \mathbf{w_1}), (\mathbf{v_2}, \mathbf{w_2}) \in V \times W,\; a \in K.</math>

 

== Alternatywny zestaw aksjomatów ==

Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:

: Dla dowolnych <math>\mathbf{u},\,\mathbf{v}\in V</math> zachodzi <math>0\mathbf{u}=0\mathbf{v}.</math>

 

 

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy

 

skąd wynika, że <math>0\mathbf{u}</math> jest elementem neutralnym i <math>(-1)\mathbf{u}</math> jest elementem przeciwnym do <math>\mathbf{u}.</math>

 

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest

 

A więc w szczególności <math>\mathbf{0}=0\mathbf{u}+\mathbf{0}=0\mathbf{u}</math> dla dowolnego <math>\mathbf{u}\in V,</math> a zatem zachodzi 9.