Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>X</math> będzie przestrzenią liniową nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]]<ref name=":0">Niektórzy autorzy, jak na przykład [[Nicolas Bourbaki]], podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej, dopuszczając by ''K'' było dowolnym [[pierścień waluacji|pierścieniem waluacji]] [[pierścień z dzieleniem|z dzieleniem]] – nie jest to jednak powszechna praktyka.</ref>.<br />[[Funkcja|Odwzorowanie]] <math>\|{\cdot}\|\colon X \to [0, \infty)</math> nazywa się '''normą''' w przestrzeni <math>X,</math> jeśli dla wszystkich elementów <math>x,y\in X</math> i [[skalar (matematyka)|skalarów]] <math>\alpha\in K</math> spełnia następujące warunki:

Przestrzeń <math>X</math> z określoną normą <math>\|{\cdot}\|</math> nazywa się '''przestrzenią unormowaną'''.

[[Plik:Vector norms.png|thumb|270px|[[Kula|Kule (koła) jednostkowe]] na [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyźnie dwuwymiarowej]] w sensie norm <math>\|{\cdot}\|_1, \|{\cdot}\|_2</math> i <math>\|{\cdot}\|_\infty.</math>]]

są normami dla <math>1 \leqslant p < \infty,</math> nazywanymi ''p''-tymi normami''.

Normę <math>\|{\cdot }\|_2</math> nazywa się [[przestrzeń euklidesowa#Struktura euklidesowa|normą euklidesową]] i oznacza po prostu <math>|{\cdot}|,</math> o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

[[równoważność|Warunkiem koniecznym i wystarczającym]] równoważności norm <math>\|{\cdot}\|_1,\ \|{\cdot}\|_2</math> w przestrzeni <math>X</math> jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych <math>c, C,</math> które dla każdego elementu <math>x \in X</math> spełniają warunek

Topologia indukowana przez normę przestrzeni <math>X</math> jest ''liniowa'' w tym sensie, że przestrzeń liniowa <math>X</math> wraz z tą topologią tworzy ''przestrzeń liniowo-topologiczną'' (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są [[funkcja ciągła|ciągłe]] w sensie [[topologia produktowa|topologii produktowych]], odpowiednio w ''<math>X''\times × ''X''</math> i ''<math>K''\times × ''X''</math>), która jest ponadto [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukła]] L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z [[zbiór wypukły|absolutnie wypukłych]] [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] jest rodzina

Niech <math>X</math> będzie przestrzenią liniową nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]]<ref name=":0" />.<br />[[Funkcja|Odwzorowanie]] <math>\|{\cdot}\|\colon X \to [0, \infty)</math> nazywa się '''pseudonormą''' w przestrzeni <math>X,</math> jeśli dla wszystkich elementów <math>x,y\in X</math> i [[skalar (matematyka)|skalarów]] <math>\alpha\in K</math> spełnia następujące warunki:

Funkcję <math>\|{\cdot}\|</math> nie spełnia warunku 1-go (niezdegenerowania), określającego normę, tj. nie jest prawdą, że dla każdego <math>x:\|x\| = 0 \Rightarrow x = 0.</math>

'''Df. 4''' Przestrzeń <math>X</math> z określoną pseudonormą <math>\|{\cdot}\|</math> nazywa się '''przestrzenią pseudounormowaną.'''