Wersja z 02:22, 11 kwi 2019 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5506 edycji m →‎Grupa obrotów SO(3) Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 03:26, 11 kwi 2019 edytuj anuluj edycję Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5506 edycji Dodano definicje grupy fundamentalnej i nakrywającej grupy SO(3). Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 1: '''Grupa obrotów''' SO(n) – [[Grupa (matematyka)\|grupa]] [[~~macierz]]y tworzona przez [[Macierz obrotu~~Izometria\|~~macierze obrotu~~izometrii]] w <math>n</math>-wymiarowej [[Przestrzeń trójwymiarowa\|przestrzeni euklidesowej]], zachowująca bez zmian jeden punkt, zwany środkiem obrotu. Grupie tej odpowiada w sposób wzajemnie jednoznaczny grupa [[Macierz obrotu\|macierzy obrotu]] wymiary n x n. {{Spis treści}} Linia 21: W [[przestrzeń euklidesowa\|przestrzeni euklidesowej]] 3-wymiarowej mamy grupę ''obrotów właściwych'' <math>SO(3),</math> która jest podgrupą grupy <math>O(3)</math> (obroty niewłaściwe – to [[Symetria osiowa\|odbicia]]). === Parametry i generatory grupy SO(3) === Grupa obrotów <math>SO(3)</math> jest '''grupą ciągłą''', tzn. wszystkie elementy <math>R</math> grupy są określone za pomocą funkcji różniczkowalnych i ciągłych zależnych od 3 parametrów <math>z_1,z_2,z_3</math> : <math>R(z_1,z_2,z_3) = \exp\left[{i\sum_{a=1}^3 T^a\, z_a}\right],</math> Linia 27 ⟶ 28: : <math>T^1=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix},\ T^2=\begin{bmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix}, \ T^3=\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.</math> === Reguły komutacji generatorów === Generatory spełniają regułę komutacji: Linia 51 ⟶ 53: nazywa się '''stałymi struktury''' grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory razem z relacjami komutacji definiują [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] <math>SO(3).\,</math> === Reprezentacja fundamentalna === ~~Uwagi:~~ ('''1''') Macierze <math>T^1,T^2,T^3\,</math>są generatorami specjalnych macierzy ortogonalnych wymiaru 3 x 3, tworzących tzw. '''reprezentację fundamentalną''' ('''definiującej''') grupy Liego <math>SO(3).\,</math> ('''2''') Wybór generatorów nie jest unikalny - można znaleźć inne macierze 3 x 3, które spełniają te same warunki komutacji. === Inne reprezentacje === ~~('''3''')~~ Oprócz reprezentacji fundamentalnej istnieją ~~'''~~inne reprezentacje grupy~~'''~~: generatory tych reprezentacji spełniają te same warunki komutacji, jak generatory reprezentacji fundamentalnej, ale są macierzami wymiaru 1, 2, 4, 5, itd. '''Reprezentacja nakrywająca''' Istnieje też tzw. reprezentacja nakrywająca, której generatorami są [[macierze Pauliego]] mnożone przez 1/2 - spełniają te same warunki komutacyjne, co generatory reprezentacji fundamentalnej: : <math>\tau_1=\frac{1}{2}\sigma_1 = \left[\begin{matrix} 0&&1 \\ 1&&0 \end{matrix}\right]</math>, : <math>\tau_2=\frac{1}{2}\sigma_2 = \left[\begin{matrix} 0&&\!\!\!-i \\ i&&0 \end{matrix}\right]</math>, : <math>\tau_3=\frac{1}{2}\sigma_3 = \left[\begin{matrix} 1&&0 \\ 0&&\!\!\!-1 \end{matrix}\right]</math>. oraz : <math>[\tau_a, \tau_b] =i\sum_c\,\epsilon_{a b c}\,\tau_c </math> Generatory te generują poprzez eksponentę :<math>U(z_1,z_2,z_3) = \exp\left[{i\sum_{a=1}^3 \tau_a\, z_a}\right],</math> :<math>z_1,z_2,z_3</math>- parametry rzeczywiste, [[Specjalna grupa unitarna\|grupę specjalnych macierzy unitarnych]] SU(2) wymiaru 2 x 2. Przy czym każdej macierzy ortogonalnej grupy SO(3) odpowiadają jednoznacznie dwie macierze unitarne grupy SU(2) - stąd nazwa "reprezentacja nakrywająca". ('''45''') Grupa <math>SO(3)</math> jest '''grupą zwartą''', tzn. parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do [[Przestrzeń zwarta\|zbioru zwartego]] <math>\Omega\subset R^3,</math> przy czym : <math>z^a=\omega^a \psi,</math>

Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami