Wersja z 18:24, 15 kwi 2019 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5494 edycje m →‎Grupa obrotów SO(3) Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 12:00, 18 kwi 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 099 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Grupa obrotów''' SO(n) – [[Grupa (matematyka)\|grupa]] [[Izometria\|izometrii]] w <math>n</math>-wymiarowej [[Przestrzeń trójwymiarowa\|przestrzeni euklidesowej]], zachowująca bez zmian jeden punkt, zwany środkiem obrotu. Grupie tej odpowiada w sposób wzajemnie jednoznaczny grupa [[Macierz obrotu\|macierzy obrotu]] wymiaru <math>3 \times 3.\,</math> {{Spis treści}} == Grupa ortogonalna O(''n'') == Rozważmy [[Przekształcenie unitarne\|przekształcenie ortogonalne]] w przestrzeni wektorowej <math>n\,</math>- wymiarowej, tj. przekształcenie, które zachowuje długości [[wektor]]ów. Niech <math>R</math> oznacza [[macierz]] tego przekształcenia. Z własności przekształceń ortogonalnych wynika, że macierz odwrotna macierzy ortogonalnej jest jej macierzą transponowaną, czyli <math>R^{-1}=R^T.</math> W zbiorze [[macierz ortogonalna\|macierzy ortogonalnych]] <math>O(n)</math> są słuszne następujące własności: Linia 14: == Grupa obrotów SO(n) == Jeżeli spełniony jest dodatkowo warunek, że wyznacznik macierzy jest równy +1, to grupę nazywa się '''specjalną grupą ortogonalną''' '''SO(n)''' lub '''grupą obrotów właściwych SO(n).''' Macierze tej grupy opisują obroty. Grupa ta jest podgrupą grupy O(n), która oprócz obrotów zawiera też [[Symetria osiowa\|odbicia]] (tzw. obroty niewłaściwe), których macierze ortogonalne mają wyznacznik <math>-1.\,</math> Podczas odbić zmienia się skrętność układu współrzędnych. Obroty zaś zachowują skrętność. == Grupa obrotów SO(3) == W [[przestrzeń euklidesowa\|przestrzeni euklidesowej]] 3-wymiarowej mamy grupę ''obrotów właściwych'' <math>SO(3),</math> która jest podgrupą grupy <math>O(3)</math> (zawierającej obroty niewłaściwe, czyli odbicia). Obroty reprezentowane są tu wzajemnie jednoznacznie przez macierze ortogonalne wymiaru <math>3 \times 3,\,</math> o wyznaczniku równym +1. === Parametry i generatory grupy SO(3) === Linia 28: === Reguły komutacji generatorów === Generatory spełniają regułę komutacji: : <math>[T^1, T^2] = i\, T^3,</math> : <math>[T^2, T^3] = i\, T^1,</math> : <math>[T^3, T^1] = i\, T^2,</math> gdzie <math>[T^a, T^b] = T^a T^b - T^b T^a</math>- – komutator. Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru : <math>[T^a, T^b] = i\sum_c \,\epsilon_{a b c}T^c,</math>▼ ▲:<math>[T^a, T^b] = i\sum_c \,\epsilon_{a b c}T^c,</math> gdzie <math>\epsilon_{a b c}</math> oznacza tzw. [[Symbol Leviego-Civity\|'''symbol antysymetryczny''']]: * <math>\epsilon_{a b c}=+1,</math> gdy liczby <math>abc</math> są parzystą [[permutacja\|permutacją]] liczb 123, * <math>\epsilon_{a b c}= -1,</math> gdy liczby <math>abc</math> są nieparzystą permutacją liczb 123, * <math>\epsilon_{a b c}=\quad 0,</math> gdy dwie lub trzy liczby <math>a, b, c</math> są takie same. 27 liczb postaci : <math>f_{abc} = \epsilon_{a b c},\quad a,b,c=1,2,3</math>▼ nazywa się '''stałymi struktury''' grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia generatorów grupy przez siebie). Stałe struktury (lub równoważnie -– relacje komutacyjne) definiują też [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] <math>so(3)\,</math> grupy <math>SO(3).\,</math>▼ ▲:<math>f_{abc} = \epsilon_{a b c},\quad a,b,c=1,2,3</math> ▲nazywa się '''stałymi struktury''' grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia generatorów grupy przez siebie). Stałe struktury (lub równoważnie - relacje komutacyjne) definiują też [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] <math>so(3)\,</math>grupy <math>SO(3).\,</math> === Zwartość grupy SO(3) === Grupa <math>SO(3)</math> jest '''grupą zwartą''', tzn. parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do [[Przestrzeń zwarta\|zbioru zwartego]] <math>\Omega\subset R^3,</math> przy czym : <math>z^a=\omega^a \psi,</math>▼ ▲:<math>z^a=\omega^a \psi,</math> gdzie: : <math>\omega^1=\sin\theta \sin\phi,</math> <math>\omega^2=\sin\theta \cos\phi,</math> <math>\omega^3=\cos\theta</math>▼ ▲:<math>\omega^1=\sin\theta \sin\phi,</math> <math>\omega^2=\sin\theta \cos\phi,</math> <math>\omega^3=\cos\theta</math> : – współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu, : <math>\psi</math> – kąt obrotu wokół tej osi : oraz : <math>\theta\,\in \langle 0, \pi\rangle, \phi\in\langle 0, 2\pi\rangle,</math> <math>\psi\,\in\langle 0, 2\pi\rangle.</math> === Reprezentacja fundamentalna === ('''1''') Macierze <math>T^1,T^2,T^3\,</math> są generatorami specjalnych macierzy ortogonalnych wymiaru <math>3 \times 3,\,</math> tworzących tzw. '''reprezentację fundamentalną''' ('''definiującej''') grupy Liego <math>SO(3).\,</math> Nazwa pochodzi stąd, że relacje komutacyjne pomiędzy generatorami określają daną grupę. ('''2''') Wybór generatorów nie jest unikalny -– można znaleźć inne macierze <math>3 \times 3,\,</math> które spełniają te same warunki komutacji. === Inne reprezentacje grupy SO(3) === Oprócz reprezentacji fundamentalnej istnieją inne reprezentacje grupy: generatory tych reprezentacji spełniają te same warunki komutacji, jak generatory reprezentacji fundamentalnej, ale są macierzami wymiaru <math>1,2,4,5,6~~,\,~~</math> itd. === Reprezentacja nakrywająca SU(2) grupy SO(3) === Istnieje też tzw. reprezentacja nakrywająca grupy <math>SO(3),\,</math> której generatorami są [[macierze Pauliego]] mnożone przez <math>1/2,\,</math> tj. : <math>\tau^1=\frac{1}{2}\sigma^1 = \left[\begin{matrix}▼ ▲:<math>\tau^1=\frac{1}{2}\sigma^1 = \left[\begin{matrix} 0&&1 \\ 1&&0 \end{matrix}\right],</math>, <math>\tau^2=\frac{1}{2}\sigma^2 = \left[\begin{matrix} 0&&\!\!\!-i \\ i&&0 \end{matrix}\right],</math>, <math>\tau^3=\frac{1}{2}\sigma^3 = \left[\begin{matrix} 1&&0 \\ 0&&\!\!\!-1 \end{matrix}\right]</math> Generatory te spełniają dokładnie takie same warunki komutacyjne, jak generatory <math>T^1,T^2,T^3\,</math> grupy SO(3), tj. : <math>[\tau^a, \tau^b] =i\sum_c\,\epsilon_{a b c}\,\tau^c .</math>▼ Generatory te generują poprzez eksponentę [[Specjalna grupa unitarna\|grupę specjalnych macierzy unitarnych]] <math>SU(2)\,</math> wymiaru <math>2 \times 2,\,</math> zależną od 3 parametrów rzeczywistych <math>z_1,z_2,z_3,\,</math> tj. ▼ ▲:<math>[\tau^a, \tau^b] =i\sum_c\,\epsilon_{a b c}\,\tau^c </math> : <math>U(z_1,z_2,z_3) = \exp\left[{i\sum_{a=1}^3 \tau^a\, z_a}\right],</math>▼ przy czym każdej macierzy ortogonalnej grupy <math>SO(3)\,</math> odpowiadają jednoznacznie dwie macierze unitarne grupy <math>SU(2)\,</math>- – stąd nazwa ~~"reprezentacja~~„reprezentacja ~~nakrywająca"~~nakrywająca”.▼ ▲Generatory te generują poprzez eksponentę [[Specjalna grupa unitarna\|grupę specjalnych macierzy unitarnych]] <math>SU(2)\,</math>wymiaru <math>2 \times 2,\,</math> zależną od 3 parametrów rzeczywistych <math>z_1,z_2,z_3,\,</math>tj. ▲:<math>U(z_1,z_2,z_3) = \exp\left[{i\sum_{a=1}^3 \tau^a\, z_a}\right],</math> ▲przy czym każdej macierzy ortogonalnej grupy <math>SO(3)\,</math>odpowiadają jednoznacznie dwie macierze unitarne grupy <math>SU(2)\,</math>- stąd nazwa "reprezentacja nakrywająca". == Algebra Liego grupy SO(n) == Linia 102 ⟶ 94: == Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowej == ('''1''') Bardzo podobne reguły komutacyjne jak generatory grupy obrotu <math>SO(3)</math> spełnia [[Moment pędu#W mechanice kwantowej\|operator momentu pędu]] [[mechanika kwantowa\|mechaniki kwantowej]] (z dokładnością do [[stała Plancka\|stałej Plancka]] <math>\hbar</math>) : <math>\hat{L}=[L_x,L_y,L_z],</math> tj. Linia 113 ⟶ 105: == Zobacz też == '''Grupy''' * [[Grupa SO(2)\|grupa obrotów SO(2)]] * [[grupa SU(2)\|grupa unitarna SU(2)]] Linia 119 ⟶ 110: '''Inne''' * [[algebra Liego]] * [[symetria unitarna]] * [[Spontaniczne złamanie symetrii\|symetria złamana]] * [[macierz obrotu]]

Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami