Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Granica w punkcie: Kosmetyczne poprawki mojej poprzedniej edycji. Duża poprawka: "co czytamy" - stara wersja mówiła, jak to należy rozumieć, nie zaś czytać - a rozumienie jest podane wyżej: "Jeżeli istnieje granica...". Zobacz też moją dzisiejszą edycję art. Funkcja ciągła i Granica ciągu |
|||
Linia 40:
'''2. definicja Cauchy’ego:'''
: <math>\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in A}\; (0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - g| < \varepsilon),</math>
: co czytamy następująco: dla każdej liczby <math>\varepsilon > 0</math> istnieje liczba <math>\delta > 0</math> taka, że dla każdego <math>x \in A</math> z nierówności <math>0 < |x - x_0| < \delta</math> wynika nierówność <math>|f(x) - g| < \varepsilon.</math>
'''3. definicja przez ciągłość:''' liczba (ogólniej: wartość) <math>g</math> jest taką wartością, którą należy nadać funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> by była w tym punkcie ciągła:
: <math>h(x) = \left\{ {f(x) \text{ dla } x \ne x_0 \atop g \text{ dla } x=x_0}\right.</math> jest [[funkcja ciągła|ciągła]] w <math>x_0.</math> (Ta definicja stosuje się nie tylko do funkcji liczbowo-liczbowych.)
Warunek <math>0 < |x - x_0|
Jeżeli istnieje granica funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i jest równa <math>g,</math> to piszemy
: <math>f(x) \to g</math> przy <math>x\to x_0</math>
i czytamy
lub równoważnie
: <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=g,</math>
co czytamy:
[[Plik:Upper semi.svg|mały|<math>x \to x_0^+ \neq x \to x_0^-.</math> Dlatego granica jako <math>x \to x_0</math> nie istnieje.]]
| |||