Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami

W przeszłości zbiory pojmowano intuicyjnie. Uważano na przykład, że każda właściwość pociąga za sobą istnienie odpowiadającego jej zbioru elementów, którym ta właściwość przysługuje. Takie pojmowanie teorii mnogości prowadziło jednak do sprzeczności, wśród których wymienić można [[antynomia Russella|antynomię Russela]] (mianowicie przyjmując za cechę niebycie własnym elementem <math>x \not \innotin x,</math> otrzymuje się zbiór, który należy do siebie samego wtedy i tylko wtedy, kiedy do siebie nie należy{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=73}}). W toku dyskusji nad rozwijaną teorią matematycy przekonali się, że ich intuicje dotyczące pojęcia zbioru różnią się między sobą. Stało się jasne, że teoria mnogości wymaga oparcia na jakimś systemie aksjomatycznym{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=67}}.

Pierwszą próbę skonstruowania takiego systemu podjął Zermelo w 1904. Wprowadził jako [[pojęcie pierwotne|pojęcia pierwotne]] swej teorii [[zbiór]] oraz relację ''bycia elementem'' <math>\in.</math>. Pomysł Zermelo obejmował aksjomaty jednoznaczności, zbioru pustego, sumy zbiorów, zbioru potęgowego, nieskończoności oraz aksjomat o pozdbiorach dla danej formuły. Sformułowanie tego ostatniego zostało w pracy Zermela uznane za niejasne{{odn|Kuratowski|Mostowski|1978|s=70}}.

W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw [[aksjomat]]ów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji [[liczby porządkowe|liczb porządkowych]]. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych<ref group="uwaga" name="ao" />. Ponadto jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i [[Thoralf Skolem]] zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w [[rachunek predykatów pierwszego rzędu|rachunku predykatów]] z [[równość (matematyka)|równością]], w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈<math>\in</math> (U+2208). Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie [[aksjomat podzbiorów|aksjomatu podzbiorów]] przez [[aksjomat zastępowania]]. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela [[aksjomat regularności]], zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.

: Dla każdego zbioru <math>b</math> istnieje zbiór <math>a,</math> złożony z tych i tylko tych elementów <math>x</math> zbioru <math>b,</math> które mają własność <math>\varphi{:}</math>:

: Dla dowolnych zbiorów <math>a</math> i <math>b</math> istnieje zbiór <math>c,</math> którego elementami są dokładnie zbiory <math>a</math> oraz <math>b{:}</math>:

: Dla dowolnej [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] <math>r</math> istnieje zbiór <math>u,</math> do którego należą dokładnie te elementy <math>x,</math> które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny <math>r{:}</math>:

: Dla każdego zbioru <math>x</math> istnieje zbiór <math>p,</math> którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru <math>x{:}</math>:

: Każdy niepusty zbiór <math>x</math> ma element rozłączny z <math>x{:}</math>:

:: <math>(f:\colon I\rightarrowto \bigcup_{i\in I} a_i)</math> taka, że:

* {{Cytuj | autor = [[Kazimierz Kuratowski]], [[Andrzej Mostowski]] | tytuł = Teoria Mnogości | czasopismo = Monografie | wolumin = 27 | wydanie = trzecie zmienione | miejsce = Warszawa | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | data = 1978 | opis = Monografie Matematyczne |odn=tak}}