Element rozdzielczy: Różnice pomiędzy wersjami

Element <math>a</math> należący do [[Ciało (matematyka)|ciała]] <math>L</math> zawierającego ciało <math>K,</math>, [[element algebraiczny|algebraiczny]] nad tym <math>K,</math>, jest elementem rodzielczym względem <math>K,</math>, jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego należącego do <math>K[x]</math> o niezerowej [[Pochodna funkcji|pochodnej]]{{odn|Browkin|1977|s=75}}.

W przypadku [[rozszerzenie ciała|rozszerzeń ciał]] mówić można o elementach algebraicznych i przestępnych. Rozszerzając wyjściowe ciało <math>K</math> o pewien element <math>a</math> ciała <math>L,</math>, takiego, że <math>K \subset L,</math>, zajść mogą dwie sytuacje{{odn|Browkin|1977|s=69-7069–70}}:

* element ten może być pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wziętych z <math>K,</math>, tzn. <math>\exist f \in K[x]: f \not =neq 0 \and f(x) = 0</math> – w takim wypadku określa się <math>a</math> mianem elementu algebraicznego

* element ten nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu z <math>K[x]</math> z wyjątkiem wielomianu zerowego – mówi się o elemencie przestępnym{{odn|Browkin|1977|s=69-7069–70}}.

Każdy element rozdzielczy jest algebraiczny{{odn|Browkin|1977|s=75}}, a więc istnieje niezerowy wielomian <math>f</math> z pierścienia wielomianów <math>K[x],</math>, który przyjmuje po podstawieniu <math>a</math> wartość <math>0</math>{{odn|Browkin|1977|s=69-7069–70}}. Elementy algebraiczne nad ciałem <math>K</math> można w dalszym ciągu pogrupować. W ich klasyfikacji istotne znaczenie będą miały właściwości samego <math>K,</math>, w szczególności jego [[Charakterystyka (algebra)|charakterystyka]]{{odn|Browkin|1977|s=75}}. Otóż dowodzi się, że iloczyn wszystkich podciał danego ciała <math>K</math> również sam stanowi ciało{{odn|Browkin|1977|s=64}}, nazywane [[podciało proste|podciałem prostym]]. Dowodzi się dalej, że jest ono [[izomorfizm|izomorficzne]] albo z ciałem [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], albo z ciałem p-elementowym, czyli takim, którego liczba elementów jest [[liczba pierwsza|liczbą pierwszą]]. W pierwszym przypadku przyjmuje się, że charakterystyka danego ciała wynosi 0, w drugim – przypisuje się wartość rzeczonej liczby pierwszej{{odn|Browkin|1977|s=75}}.

W przypadku ciała <math>K</math> o zerowej charakterystyce każdy element <math>a</math> algebraiczny nad <math>K</math> jest zarazem względem <math>K</math> rozdzielczy{{odn|Browkin|1977|s=75}}. Jeżeli bowiem <math>a \not =neq 0,</math>, to dla każdego niezerowego wielomianu stopnia <math>0</math> jego wartość nie będzie równa <math>0.</math>. <math>a</math> musi więc być pierwiastkiem wielomianu o stopniu wyższym niż <math>0,</math>, stopnia przynajmniej pierwszego{{odn|Browkin|1977|s=75}}. Korzystając zaś z wzoru na pochodną wielomianu dla kolejnych jednomianów <math>(a_n x^n)' = na_n x^{n-1}</math>{{odn|Browkin|1977|s=73}}, wielomiany takie nie będą miały zerowej pochodnej{{odn|Browkin|1977|s=74}}.

Sytuacja komplikuje się w przypadku ciał o niezerowej charakterystyce. Otóż w pierścieniu wielomianów <math>K[x]</math> tego ciała znaleźć można wielomiany stopnia niezerowego, których pochodna znika. Dzieje się tak mianowicie wtedy, kiedy dany wielomian <math>f \in K[x^p],</math>, gdzie <math>p</math> jest charakterystyką rozpatrywanego ciała. Dla każdego wielomianu <math>f</math> z tego ostatniego pierścienia można go bowiem zastąpić przez inny wielomian <math>g</math> wzięty z <math>K[x],</math>, w ten sposób, że <math>f(x) = g(x^p),</math>, czyli że argumentem <math>g</math> jest <math>x</math> podniesione do potęgi <math>p.</math>. Z właściwości ciała o charakterystyce <math>p</math> wynika, że pochodna tegoż <math>x^p</math> wynosi <math>0.</math>. Z równości <math>f</math> i <math>g</math> wnosi się następnie o równości ich pochodnych, a wyliczając pochodną <math>g'</math> korzysta się z wzoru na pochodną funkcji zagnieżdżonej w innej funkcji, tak więc <math>(g(x^p))' = g'(x^p)(x^p)',</math>, a ostatni czynnik, jak wcześniej wskazano, wynosi <math>0.</math>. Wobec tego cały iloczyn i w efekcie pochodna <math>f</math> także wynoszą <math>0.</math>. I w drugą stronę, jeśli pochodna danego wielomianu <math>f</math> znika, mając postać sumy jednomianów wyrażających się przez <math>na_n x^{n-1}</math> dla kolejnych <math>n</math> aż do stopnia <math>f,</math>, to wszystkie iloczyny <math>na_n</math> muszą mieć wartość <math>0.</math>. Tak więc <math>a_n</math> musi być zerowe lub też <math>n.</math>. Drugi człon alternatywy będzie spełniony, jeśli <math>n</math> będzie wielokrotnością <math>p.</math>. Każdy z takich jednomianów będzie się więc wyrażał jako <math>a_{kp} x^{kp}</math> dla pewnego całkowitego <math>k</math>{{odn|Browkin|1977|s=74}}. Wynika stąd wniosek, że pierwiastek takiego wielomianu, choć będzie elementem algebraicznym nad <math>K,</math>, nie będzie elementem rozdzielczym nad tym ciałem{{odn|Browkin|1977|s=75}}.