Twierdzenie Picarda: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Lokalny warunek Lipschitza: drobne redakcyjne |
m robot dodaje: zh:柯西-利普希茨定理; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 1:
'''Twierdzenie Picarda''' – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań [[Zagadnienie Cauchy'ego|zagadnienia Cauchy'ego]]. Podawane jest także jako '''twierdzenie Picarda–Lindelöfa''' lub '''twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza'''. Nazwa twierdzenia ma uhonorować [[Charles Émile Picard|Charlesa Picarda]], a w innym wersjach także [[Ernst Leonard Lindelöf|Ernsta Lindelöfa]], [[Rudolf Lipschitz|Rudolpha Lipschitza]] i
== Twierdzenie ==
Linia 11:
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>y=\varphi(x)</math> określone na przedziale <math>(x_0-\delta,x_0+\delta)</math>.
== Uogólnienie na przestrzenie Banacha ==
Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]].
=== Lokalny warunek Lipschitza ===
Niech <math>Y</math> będzie przestrzenią unormowaną oraz <math>D\subseteq \mathbb{R}\times Y</math> będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja <math>f\colon D\to Y</math> spełnia '''lokalny warunek Lipschitza''' na zbiorze <math>D</math> wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt <math>(x_0, u_0)\in D</math> ma otoczenie, na którym <math>f</math> spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.
=== Twierdzenie Picarda ===
Niech <math>Y</math> będzie przestrzenią Banacha oraz <math>D\subseteq \mathbb{R}\times Y</math> będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja <math>f\colon D\to Y</math> jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze <math>D</math>, to
* każde rozwiązanie równania <math>u^\prime=f(x,u)</math> daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
Linia 23:
* dla każdego punktu <math>(x_0, u_0)\in D</math> istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy <math>u(x_0)=u_0</math>.
== Bibliografia ==
#{{cytuj książkę|imię=Witold|nazwisko=Kołodziej|tytuł=Analiza matematyczna|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=1979|strony=193-196}}
== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Peano]]
* [[twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiej]]
== Linki zewnętrzne ==
*[http://mathworld.wolfram.com/PicardsExistenceTheorem.html Picard's Existence Theorem] {{lang|en}} w encyklopedii [[MathWorld]].
Linia 45:
[[he:משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)]]
[[pt:Teorema de Picard-Lindelöf]]
[[zh:柯西-利普希茨定理]]
| |||