Kryterium całkowe: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
BartekChom (dyskusja | edycje) z angielskiego, z notatek, WP:SK |
BartekChom (dyskusja | edycje) m →Przykład: - |
||
Linia 18:
Dowód, że szereg <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} ln^i(n)\right) \cdot (ln^k(n))^s}</math>, gdzie ''k''∈[[liczby naturalne|N<sub>0</sub>]], ''m''>exp<sup>''k''</sup>(0), a ''f''<sup>''k''</sup>(''x'') oznacza [[złożenie funkcji]] jest zbieżny dla s>1 i rozbieżny dla 0<s≤1.
Po pierwsze dla ''k''=0 mamy <math>\sum_{n=m}^\infty {1 \over n^s}</math>, gdzie ''m''>0. Wyrazy tego szeregu są nieujemne i tworzą ciąg malejący, więc można zastosować kryterium całkowe. Zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności całki <math>\int\limits_{m}^\infty {dx \over x^s} = \int\limits_{m}^\infty {x^{-s}} = \left[ {x^{-s+1} \over -s+1} \right]_{m}^\infty = {m^{-s+1} \over -s+1}
W ogólnym przypadku też można zastosować kryterium całkowe, a całka ma postać <math>\int\limits_{m}^\infty{dx \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-1} ln^i(x)\right) \cdot (ln^k(x))^s}</math>. Przez podstawienie ''y''=''ln''(''x'') otrzymujemy (''dy=dx/x'') <math>\int\limits_{ln(m)}^\infty{dy \over \left(\prod\limits_{i=0}^{k-2} ln^i(y)\right) \cdot (ln^{k-1}(y))^s}</math>, czyli całkę dla ''k''-1. Metodą [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] można więc dowieść, że całki są zbieżne wtedy i tylko wtedy, kiedy ''s''>1. Na mocy kryterium całkowego wynika stąd, że również szeregi spełniają ten warunek.
| |||