Elipsoida: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Pole powierzchni: drobne redakcyjne |
→Równanie: drobne redakcyjne |
||
Linia 4:
== Równanie ==
Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie <math>(x_0, y_0, z_0)\;</math>, osiach równoległych do osi układu i półosiach długości <math>a,b,c\;</math> ma postać:
: <math> \frac {(x-x_0)^2}{a^2} + \frac {(y-y_0)^2}{b^2} + \frac {(z-z_0)^2}{c^2} = 1.</math>
Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać:
: <math> \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} + \frac {z^2}{c^2} = 1.</math>
Dla <math>a=b=c\;</math> elipsoida jest [[sfera|sferą]] o promieniu <math>a\;</math>.
Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia<ref>{{cytuj książkę|imię=I.N.|nazwisko=Bronsztejn|imię2=K.A.|nazwisko2=Siemiendiajew|tytuł=Matematyka – Poradnik encyklopedyczny|wydanie=6|miejsce=Warszawa|rok=1976|wydawca=PWN|strony=300}}</ref>:
: <math>a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12} xy+2a_{23} yz+2a_{31} zx+2a_{14} x+2a_{24} y+2a_{34} z+a_{44}=0,\;</math>
przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując <math>a_{ij}=a_{ji}</math>) warunki:
: <math>\Delta=\left| \begin{matrix}
Linia 21:
\end{matrix}\right| <0</math>
oraz
: <math>T=a_{22} a_{33}+ a_{33} a_{11}+ a_{11} a_{22} -a_{23}^2 -a_{31}^2 -a_{12}^2>0.\;</math>
[[objętość (matematyka)|Objętość]] elipsoidy wyraża się wzorem:
: <math>V = \frac 4 3 \pi a b c.</math>
Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:
: <math>S=2 \pi \left( c^2 + \frac{bc^2}{\sqrt{a^2-c^2}} F(\theta, m) + b\sqrt{a^2-c^2} E(\theta, m) \right),</math>
gdzie
: <math>m = \frac{a^2(b^2-c^2)}{b^2(a^2-c^2)},</math>
: <math>\theta = \arcsin{\varepsilon},</math>
: <math>\varepsilon = \sqrt{1 - \frac{c^2}{a^2}},</math>
a <math>F(\theta, m)\;</math> i <math>E(\theta, m)\;</math> są niekompletnymi [[całki eliptyczne|całkami eliptycznymi]] pierwszego i drugiego rodzaju.
| |||