Wersja z 20:42, 23 cze 2009 edytuj Raq0 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 1427 edycji m →‎Operatory normalne: zmiana szablonu na bardziej odpowiedni, usunięcie poprawionych uwag ← poprzednia edycja		Wersja z 19:48, 25 cze 2009 edytuj anuluj edycję Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji →‎Operatory normalne: zaczynamy rozbudowę następna edycja →
Linia 13: == Operatory normalne == Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu ograniczonemu operatorowi normalnemu odpowiada dokładnie jedna [[hermitowska miara spektralna]] na rodzinie [[zbiór borelowski\|borelowskich podzbiorów]] jego widma o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Mówiąc ściślej, jeśli <math>H</math> jest przestrzenią Hilberta oraz <math>T\colon H\to H</math> jest ograniczonym operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\sigma(T)</math> taka, że ~~{{do poszerzenia\|sekcja\|przyadałaby się uwaga o dowodzie, który wykorzystuje twierdzenie Riesza-Skorochoda; zastosowania to np rachunek funkcyjny operatorów dodatnich}}~~ Niech <math> H </math> będzie [[przestrzeń Hilberta\|przestrzenią Hilberta]] oraz niech <math> T : H \to H </math> będzie operatorem [[operator normalny\|normalnym]]<ref> W szczególności, normalne są operatory samosprzężone.</ref>. Wówczas istnieje dokładnie jedna [[Hermitowska miara spektralna\|miara spektralna]] <math> F </math> określona na [[sigma-ciało\|σ-ciele]] [[Podzbiór\|podzbiorów]] [[Zbiór borelowski\|borelowskich]] [[widmo (matematyka)\|widma]] <math> \sigma (T) </math> operatora <math> T </math> taka, że: : <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda F(d\lambda) </math>▼ ▲: <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda FE(d\lambda) </math>. ~~=== Uwagi ===~~ * Miara spektralna <math> F </math> z powyższego twierdzenia jest nazywana ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T .</math> Hermitowskie miary spektralne są [[miara wektorowa\|miarami wektorowymi]], a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie [[Całka względem miary wektorowej\|całkę względem miary wektorowej]] z ([[funkcja tożsamościowa\|tożsamościowej]]) funkcji skalarnej. * Dla wygody, często rozważa się miarę spektralną <math> F </math> jako zdefiniowaną dla wszystkich podzbiorów borelowskich <math> B </math> zbioru <math> \mathbb{C}. </math> Aby to uzyskać zdefiniujmy dodatkowo: ~~:: <math> F(B) = 0 </math> jeżeli <math> B \cap \sigma(T) = \varnothing . </math>~~ * Jeżeli <math>B</math> jest borelowskim podzbiorem <math>\sigma(T)</math> oraz <math>S\colon H\to H</math> jest operatorem ograniczonym, który komutuje z <math>T</math>, tzn. <math>TS=ST</math>, to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) <math>E(B)</math> komutuje z <math>S</math>. * Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych [[algebra Banacha\|algebr]] operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów: :Niech <math>\mathcal{B}(H)</math> oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta <math>H</math>. Jeśli <math>A</math> jest [[zbiór domknięty\|domkniętą]] podalgebrą <math>\mathcal{B}(H)</math> złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy <math>I</math> i jeśli <math>\Delta</math> jest przestrzenią [[ideał maksymalny\|ideałów maksymalnych]] <math>A</math>, to ::(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\Delta</math> o wartościach w <math>\mathcal{B}(H)</math> taka, że :::<math>T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE</math> :: dla każdego <math>T\in A</math>, gdzie <math>\hat{T}</math> jest [[transformacja Gelfanda\|transformacją Gelfanda]] <math>T</math>, ::(b) odwrotna transormacja Gelfanda (tj. odwzorowanie <math>\hat{T}\mapsto T</math>) można przedłużyć do [[izometria\|izometrycznego]] [[-algebra\|-izomorfizmu]] <math>\Phi</math> algebry <math>L^\infty(E)</math> na domkniętą podalgebrę <math>A^\prime</math> w <math>\mathcal{B}(H)</math>, <math>A\subseteq A^\prime</math>. -izomorfizm <math>\Phi</math> wyraża się wzorem :::<math>\Phi f=\int\limits_\Delta f dE<,\; f\in L^\infty(E)</math>. ::Dokładniej, <math>\Phi</math> jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że <math>\Phi \overline{f}=(\Phi f)^</math> dla <math>f\in L^\infty (E)</math>. ::(c) <math>A^\prime=\mbox{cl}_{\mathcal{B}(H)}\mbox{lin}\{E(B)\colon B\in \mbox{Borel}(\sigma(T)\}</math>, ::(d) jeśli <math>B\subseteq \Delta</math> jest domknięty i niepusty, to <math>E(B)\neq 0</math>, ::(e) operator <math>S\in \mathcal{B}(H)</math> komutuje z każdym <math>T\in A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))</math> operator <math>S</math> komutuje z <math>E(B)</math>. == Zobacz też ==

Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami