Twierdzenie Arzeli-Ascolego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Wersja ogólna: +1 |
+ jedno twierdzenie |
||
Linia 19:
=== Klasyczna wersja ===
Klasyczna wersja twierdzenia Arzeli-Ascoliego mówi, że
Założenie jednakowej ciągłości jest istotne - istnieje ciąg ograniczonych funkcji ciągłych <math>f_n\colon [0,1]\to\mathbb{R} </math>, który nie ma podciągu zbieżnego jednostajnie. Istotnie, niech
: <math>f_n(x)=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}</math>
Linia 25:
: <math>\lim_{n\to \infty}f_n(x)=0</math>
dla każdego <math>x\in [0,1]\;</math>, ale
: <math>f_n\left(\
dla ''n''=1,2,3..., więc żaden podciąg ciągu <math>(f_n)\;</math> nie jest zbieżny jednostajnie.
Twierdzenie Arzeli-Ascoliego jest niejako odwróceniem twierdzenia
Istotnie, niech <math>\varepsilon>0\;</math> będzie ustaloną liczbą, a zatem istnieje [[liczby naturalne|liczba naturalna]] <math>N\;</math> taka, że
: <math>\|f_n-f_N\|_{C(X,Y)}<\varepsilon\;</math> dla <math>n>N\;</math>.
Linia 40:
=== Wersja ogólna ===
Niech <math>X\;</math> będzie zwartą przestrzenią metryczną oraz <math>Y\;</math> będzie przestrzenią metryczną. Ogólną wersję twierdzenia Arzeli-Asoliego można sformułować w postaci [[warunek konieczny|warunku koniecznego]] i [[warunek wystarczający|wystarczającego]] na to by podzbiór przestrzeni <math>C(X,Y)\;</math> był zwarty w sensie topologii zwarto-otwartej:
Twierdzenie to jest rzeczywiście uogólnieniem wersji klasycznej twierdzenia Arzeli-Ascoliego ponieważ w przypadku, gdy <math>X</math> jest przestrzenią zwartą, a <math>Y</math> przestrzenią metryczną (lub ogólniej [[przestrzeń jednostajna|przestrzenią jednostajną]]), to topologia zwarto-otwarta pokrywa się topologią zbieżności jednostajnej w <math>C(X,Y)</math>.
===Uogólnienia===
Poniżej znajdują się twierdzenia topologii ogólnej, które w literaturze topologicznej również można spotkać pod nazwą twierdzeń Ascoliego
* Jeżeli <math>X</math> jest [[k-przestrzeń|''k''-przestrzenią]], a <math>Y</math> jest [[przestrzeń regularna|przestrzenią regularną]], to domknięty podzbiór <math>F</math> przestrzeni <math>Y^X</math> z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy <math>F</math> jest rodziną jednakowo ciągła (elementami przestrzeni <math>Y^X</math> są funkcje <math>X\to Y</math>) i dla każdego <math>x\in X</math> zbiór <math>\{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y</math> ma zwarte domknięcie.
Kelley i Morse udowodnili to twierdzenie w przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przestrzeń lokalnie zwarta|przestrzenią lokalnie zwartą]]. Sformułowane wyżej uogólnienie na ''k''-przestrzenie podali w roku [[1966]] Bagley i Young<ref>{{cytuj pismo|imię=Robert Walter|nazwisko=Bagley|imię2=J.S.|nazwisko2=Yang|tytuł=On ''k''-spaces and function spaces|czasopismo=Proceedings of the American Mathematical Society|tom=17|issue=|strony=703-705|rok=1966}}</ref>
* Jeżeli <math>X</math> jest ''k''-przestrzenią, a <math>Y</math> przestrzenią regularną, to domknięty podzbiór <math>F</math> przestrzeni <math>Y^X</math> z topologią zwarto-otwartą jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru zwartego <math>Z\subseteq X</math> przekształcenia rodziny <math>F|Z=\{f|Z\colon\, f\in Z\}</math> są jednakowo ciągłe i dla każdego <math>x\in X</math> zbiór <math>\{f(x)\colon f\in F\}\subseteq Y</math> ma zwarte domknięcie.
{{przypisy}}
| |||