|
<!--{{distinguish|różniczkowanie w przestrzeniach Frécheta}} -->
{{spis treści}}
'''Pochodna Frécheta''' – wuogólnienie [[matematyka|matematyce]]pojęcia pochodnej [[pochodna|pochodnej]] definiowanadla nafunkcji określonych w [[przestrzeń Banacha|przestrzeniprzestrzeniach Banacha]],. noszącaPojęcie nazwiskopochodnej [[Mauricew Fréchet|Maurice'asensie Frécheta]], którapozwala służyformalnie sformalizowaniuzdefiniować pojęciapojęcie [[pochodna funkcjonalna|pochodnej funkcjonalnej]], która jest szeroko wykorzystywanejwykorzystywana w [[rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnym]]. Intuicyjnie, uogólniadefinicja onapochodnej ideęFrécheta oparta jest na idei [[aproksymacja liniowa|aproksymacji liniowej]], (przybliżaniato przyznaczy pomocyprzybliżania funkcjiróżniczkowanej liniowej) [[funkcja|funkcji]] jednejprzy zmiennejpomocy naprostszej funkcjefunkcji przestrzeni Banachaliniowej. PochodnąNazwa Fréchetapojęcia należypochodzi przeciwstawićod ogólniejszejnazwiska [[pochodnafrancuskiego Gâteaux|pochodnej Gâteaux]]matematyka, która jest uogólnieniem klasycznej [[pochodnaMaurice kierunkowaFréchet|pochodnejMaurice'a kierunkowejFrécheta]].
Pochodna Frécheta znajduje zastosowania w całej [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]], a w szczególności rachunku wariacyjnym, analizie nieliniowej i [[nieliniowa analiza funkcjonalna|nieliniowej analizie funkcjonalnej]]. Służy także opisowi nieliniowych zagadnień w naukach przyrodniczych.
== Definicja ==
Niech <math>V</math> orazi <math>W</math> będą przestrzeniami Banacha, zaśoraz <math>U \subseteq V</math> będzie [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym podzbiorem]] <math>V.</math> Funkcję <math>f\colon U \to W</math> nazywa się ''różniczkowalną w sensie Frécheta'' w punkcie <math>x \in U,</math> jeżeli istnieje taki [[operator liniowy ograniczony|ograniczony operator liniowy]] <math>\operatorname A_x\colon V \to W</math> taki, że istnieje granica
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{\bigl\|f(x + h) - f(x) - \operatorname A_x(h)\bigr\|_W}{\|h\|_V} = 0.</math>
Operator <math>\operatorname A_x.</math> powyżej nazywa się w tym przypadku '''pochodną''' <math>f</math> w punkcie <math>x</math> i oznacza <math>\operatorname Df(x)</math>.
Powyższa [[granica (matematyka)|granica]] oznacza zwykłą [[granica funkcji|granicę funkcji]] określonej na przestrzeniach metrycznych <math>V</math> oraz <math>W,</math> a wyrażenie wyżej należy postrzegać jako funkcję argumentu <math>h</math> należącego do <math>V.</math> W konsekwencji jest ono dobrze określone dla wszystkich [[ciąg (matematyka)|ciągów]] <math>\langle h_n\rangle_{n=1}^{\infty}</math> niezerowych elementów <math>V,</math> które zbiegają do [[wektor zerowy|wektora zerowego]], <math>h_n \to 0.</math> Jeżeli granica ta istnieje, to nazywa się ją '''pochodną''' <math>f</math> w punkcie <math>x</math> i zapisuje <math>\operatorname Df(x) = \operatorname A_x.</math>
Powyższy warunek można wyrazić następująco: funkcja <math>f</math> jest różniczkowalna w <math>x,</math> gdy istnieje ciągły operator liniowy <math>\operatorname A_x\colon U \to W</math> oraz funkcja <math>r_f(x, \cdot)\colon\ U_x \to Y,</math> gdzie <math>U_x = U \setminus \{x\}</math> jest [[otoczenie (matematyka)|sąsiedztwem]] punktu <math>x,</math> dla których
gdzie <math>r_f(x, h) = \operatorname o(h),</math> co oznacza, iż <math>\tfrac{r_f(x, h)}{\|h\|_V} \to 0</math> przy <math>h \to 0</math> (zob. [[asymptotyczne tempo wzrostu]])<ref>Funkcję <math>\scriptstyle r_f</math> można zastąpić ciągłą w zerze funkcją <math>\scriptstyle \varepsilon_f(x, \cdot)</math> żądając <math>\scriptstyle \varepsilon_f(x, 0) = 0,</math> tak, by spełniony był warunek <math>\scriptstyle f(x + h) - f(x) = \operatorname A_x(h) + \varepsilon_f(x, h)\|h\|_V.</math></ref>.
Funkcję <math>f</math> różniczkowalną w sensie Frécheta w dowolnym punkcie zbioru <math>U</math> i której pochodna <math>\operatorname Df(x)</math> jest funkcją ciągłą w <math>x</math>każdym należącympunkcie dozbioru <math>U</math> nazywa się funkcją klasy <math>\operatorname C^1.</math>
To pojęciePojęcie pochodnej stanowiFrécheta jest uogólnienieuogólnieniem zwykłej pochodnej funkcji [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R,</math> ponieważ ciągłe przekształcenia liniowe <math>\mathbb R \to \mathbb R</math> są popostaci <math>y=ax</math> prostugdzie mnożeniami''a'' przezjest liczbęliczbą rzeczywistą. W tym przypadku <math>\operatorname Df(x)</math> to funkcja <math>t \mapsto tf'(x).</math>
== Własności ==
| 