Wikipedia

Funkcja addytywna zbioru: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
ta uwaga jest zbyt ogólna, a nazwa premeasure jest raczej lokalna; źródła usuwam bo z nich nie korzystaleś - źródla to powina być książka Sikorskiego "Funkcje Rzeczywiste I"
Linia 1:
{{disambigR|własności funkcji określonej na ciele zbiorów|[[funkcja addytywna|addytywność]] funkcji w algebrze oraz [[addytywność (fizyka)|addytywność]] w fizyce}}
{{spis treści}}
'''Funkcja addytywna zbioru''' – [[funkcja]] określona na pewnympewnej [[ciałorodzinie zbiorów|ciele]] lub [[pierścień zbiorów|pierścieniu zbiorów]] o wartościach w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych]], której wartość dla [[suma zbiorów|sumy]] dwóchdwu [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] jest [[dodawanie|sumą]] wartości dla każdego z tych zbiorów. Z pojęciem addytywności blisko związane są pojęcia ''podaddytywności'', ''σ-addytywności'' oraz ''σ-podaddytywności'' (funkcje dwóch ostatnich rodzajów definiuje się zwykle na [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałach]] lub [[σ-pierścień|σ-pierścieniach zbiorów]]).
 
W nomenklaturze anglojęzycznej przeliczalnie addytywne funkcje zbiorów o wartościach w [[rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych]] znikające na zbiorze pustym nazywa się „premiarami” (ang. ''premeasure''), gdyż w pewnym sensie są one zaczątkiem „pełnoprawnych” [[miara (matematyka)|miar]] na danej przestrzeni. Są one szczególnie użyteczne w [[geometria fraktalna|geometrii fraktalnej]] i [[teoria wymiaru|teorii wymiaru]], gdzie za ich pomocą definiuje się takie miary jak [[miara Hausdorffa]], czy [[miara pakująca]] na [[podzbiór|podzbiorach]] [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznych]].
 
== Definicje ==
Niech <math>\mathcal A</math> będzie [[rodzina zbiorów|rodziną zbiorów]] oraz niech <math>f\colon \mathcal A \to [0\mathbb{R}\cup\{-\infty, +\infty]\}.</math> O funkcji <math>f</math> mówi się, że jest
* '''addytywna''', jeśli
: <math>f(A \cup B) = f(A) + f(B)</math> dla wszystkich [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] <math>A, B \in \mathcal A,</math> dla których <math>A \cup B \in \mathcal A.</math>
Linia 24 ⟶ 22:
* funkcje przeliczalnie addytywne: ''[[miara (matematyka)|miary]] (przeliczalnie addytywne)''.
 
AddytywnePowyższe funkcjedefinicje zbiorówrozszerza się czasem na funkcje o wartościach w rzeczywistychpewnej bądź[[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych. Addytywne funkcje zbiorów o wartościach w [[przestrzeń unormowanaliniowo-topologiczna|przestrzeniach unormowanychliniowo-topologicznych]] nazywa się czasem ''[[miara wektorowa|miarami wektorowymi]]''.
 
Powyższe definicje rozszerza się czasem na funkcje o wartościach w pewnej [[struktura algebraiczna|strukturze algebraicznej]] wyposażonej w [[dodawanie|działanie dodawania]] (jak np. [[grupa abelowa]], [[przestrzeń liniowa]]), w szczególności: zbiorze liczb rzeczywistych, zespolonych, czy ich rozszerzeniach, które spełniają warunki analogiczne do powyższych.
 
== Własności ==
W przypadku, gdy <math>\mathcal A</math> jest (co najmniej) [[pierścień zbiorów|pierścieniem zbiorów]], wymaganie należenia sumy danych zbiorów do rodziny w definicji funkcji skończenie (pod)addytywnych możnajest pominąćspełnione automatycznie, podobnie ma się rzecz, gdy <math>\mathcal A</math> jest [[σ-pierścień|σ-pierścieniem zbiorów]] i funkcji przeliczalnie (pod)addytywnych. Ponadto definicje (pod)addytywności i skończonej (pod)addytywności pokrywają się wtedy na mocy zasady [[indukcja matematyczna|indukcji matematycznej]] (nie jest tak w ogólności, tzn. dla [[półpierścień zbiorów|półpierścieni zbiorów]]).
 
Jeśli powyższe funkcje przyjmują wartości w [[rozszerzony<math>\mathbb{R}\cup\{-\infty, zbiór liczb rzeczywistych|rozszerzonym afinicznie zbiorze liczb rzeczywistych]]+\infty\}</math>, to zakłada się, że wszystkie sumy (szeregi) po prawych stronach definicji mają być dobrze określone, tzn. nie występują tam jednocześnie wyrazy postaciskładniki <math>f(-\infty)</math> orazi <math>f(+\infty).</math> .
 
Jeśli <math>\varnothing \in \mathcal A,</math> to zwykle przyjmuje się, iż <math>f(\varnothing) = 0,</math> co nazywa się żargonowo ''znikaniem na zbiorze pustym'', wówczas przeliczalne warianty (sub)addytywności pociągają za sobą skończone. Jeżeli funkcja addytywna przyjmuje wartości rzeczywiste (skończone), zespolone bądź wektorowe, to znikanie na zbiorze pustym wynika w istocie z jej addytywności. W przypadku funkcji o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych jest to równoważne warunkowi, by <math>f(\varnothing) \ne \pm\infty,</math> bądź by <math>f</math> nie była tożsamościowo równa <math>\pm\infty.</math>
Linia 49 ⟶ 45:
== Zobacz też ==
* [[ścisła addytywność miar wektorowych]].
 
== Źródła ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Munroe | imię = Marshall E. | tytuł = Introduction to measure and integration | wydawca = Addison-Wesley Publishing Company Inc. | miejsce = Cambridge w Massachusetts | rok = 1953 | strony = 310}} {{MathSciNet|id=0053186}}
* {{cytuj książkę | imię = Claude A. | nazwisko = Rogers | tytuł = Hausdorff measures | wydanie = III | seria = Cambridge Mathematical Library | wydawca = Cambridge University Press | miejsce = Cambridge | rok = 1998 | strony = 195 | isbn = 0-521-62491-6}} {{MathSciNet|id=1692618}} (zob. rozdział 1.2.)
* {{cytuj książkę | imię = Gerald B. | nazwisko = Folland | tytuł = Real Analysis | wydanie = II | seria = Pure and Applied Mathematics | wydawca = John Wiley & Sons, Inc. | miejsce = Nowy Jork | rok = 1999 | strony = 30–31 | isbn = 0-471-31716-0}}
 
[[Kategoria:Funkcje matematyczne|Addytywna, funkcja zbioru]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcja_addytywna_zbioru”