Wersja z 21:23, 19 gru 2010 edytuj H. Kozera (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 872 edycje m Twierdzenie o dwumianie przeniesiono do Dwumian Newtona nad przekierowaniem: To określenie jest znacznie, znacznie popularniejsze ← poprzednia edycja		Wersja z 21:38, 19 gru 2010 edytuj anuluj edycję H. Kozera (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 872 edycje końcowe korekty następna edycja →
Linia 1: {{Dopracować\|Artykuł wymaga poszerzenia}} '''Dwumian Newtona''' – tradycyjna nazwa twierdzenia nazywanego także '''wzorem dwumianowym (dwumiennym)''' lub '''wzorem Newtona''', zgodnie z którym [[potęgowanie\|potęgę]] [[dwumian]]u <math>(x + y)^n</math> można rozwinąć w sumę [[jednomian]]ów postaci <math>a x^k y^l</math>. W każdym z tych jednomianów współczynnik <math>a</math> jest dodatnią [[Liczby całkowite\|liczbą całkowitą]], a wykładniki przy <math>x</math> oraz <math>y</math> sumują się do <math>n</math>. Współczynniki <math>a</math> przy jednomianach są '''[[Symbol Newtona\|symbolami Newtona]]''' i nazywane są '''współczynnikami dwumianowymi'''. [[Plik:Pascal's triangle 5.svg\|right\|thumb\|200px\|[[Symbol Newtona\|Współczynniki dwumianowe]] pojawiają się jako elementy [[trójkąt Pascala\|trójkąta Pascala]].]]▼ '''Twierdzenie o dwumianie''' – twierdzenie algebraiczne opisujące rozwinięcie [[potęgowanie\|potęg]] [[dwumian]]u. Zgodnie z twierdzeniem można rozwinąć potęgę <math>(x + y)^n</math> w sumę wyrazów postaci <math>a x^k y^l</math>, gdzie współczynnik każdego wyrazu jest dodatnią [[Liczby całkowite\|liczbą całkowitą]], a wykładniki <math>k</math> oraz <math>l</math> sumują się do <math>n</math>. Współczynniki pojawiające się w rozwinięciu nazywa się [[Symbol Newtona\|współczynnikami dwumianowymi]]. == Twierdzenie == ▲[[Plik:Pascal's triangle 5.svg\|right\|thumb\|200px\|[[Symbol Newtona\|Współczynniki dwumianowe]] pojawiają się jako elementy [[trójkąt Pascala\|trójkąta Pascala]].]] Jeśli <math>x,y</math> są dowolnymi elementami dowolnego [[pierścień przemienny\|pierścienia przemiennego]]<ref>W ogólności [[łączność (matematyka)\|łączność]] pierścienia można zastąpić [[alternatywność\|alternatywnością]]</ref> (np. [[liczby całkowite]], [[liczby wymierne\|wymierne]], [[liczby rzeczywiste\|rzeczywiste]], [[liczby zespolone\|zespolone]]), to każdą naturalną potęgę dwumianu <math>x + y</math> można rozłożyć na sumę postaci : <math>(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + \dots + \binom{n}{n}y^n,</math> Linia 14: # W szczególności dla <math>x=1</math> lub <math>y=1 </math> dostaniemy wzór na tzw. [[szereg Newtona]] <math>(1 + x)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \; {n \choose k} \; x^k </math> # Współczynniki dwumianowe są elementami <math>n+1</math> wiersza w [[trójkąt Pascala\|trójkącie Pascala]] ;Przykłady: :<math>(x+y)^1=x+y</math> :<math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math> :<math>(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3</math> == Dowód twierdzenia ==

Dwumian Newtona: Różnice pomiędzy wersjami