Forma dwuliniowa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m nie stosowany zapis |
→Ortogonalność: drobne techniczne |
||
Linia 95:
tworzący przestrzeń liniową (gdyż jest to jądro <math>\scriptstyle B_\mathrm L,</math> bądź <math>\scriptstyle B_\mathrm R</math> na mocy symetryczności) nazywaną dalej ''podprzestrzenią ortogonalną''<ref>Pojęcie to jest przypadkiem szczególnym tzw. ''[[anihilator]]a'' <math>\scriptstyle S^0</math> danego podzbioru <math>\scriptstyle S</math> przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> bądź ''[[radykał (teoria pierścieni)|radykału]]'' <math>\scriptstyle \mathrm{Rad}(B),</math> czyli zbioru tych <math>\scriptstyle \mathbf x,</math> dla których <math>\scriptstyle B(\mathbf x, \mathbf y) = 0</math> dla wszystkich <math>\scriptstyle \mathbf y,</math> który tworzy [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeń liniową]] w <math>\scriptstyle V;</math> w powyższym przypadku zachodzi <math>\scriptstyle \mathrm{Rad}(B) = W^0 = W^\perp.</math></ref>; w literaturze częściej spotyka się nazwę „[[dopełnienie ortogonalne]]”, choć w ogólnym przypadku wcale nie musi być dopełnieniem, gdyż może się zdarzyć, iż <math>\scriptstyle W \cap W^\perp \ne \{\mathbf 0\}.</math> Wektory należące do tej części wspólnej (tzw. ''podprzestrzeni izotropowej''), tzn. wektory <math>\scriptstyle \mathbf x</math> spełniające <math>\scriptstyle \mathbf x \perp \mathbf x,</math> nazywa się '''izotropowymi'''; pozostałe nazywa się ''nieizotropowymi'' bądź ''anizotropowymi''. Zachodzi wzór <math>\scriptstyle \dim W + \dim W^\perp = \dim V.</math><ref>Dla dowolnej niezdegenerowanej, niekoniecznie refleksywnej, formy <math>\scriptstyle B</math> oraz podprzestrzeni <math>\scriptstyle W</math> przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> można zdefiniować zbiory <math>\scriptstyle W^{\perp_\mathrm L} = \{\mathbf x \in V\colon \mathbf x \perp W\}</math> oraz <math>\scriptstyle W^{\perp_\mathrm R} = \{\mathbf x \in V\colon W \perp \mathbf x\},</math> które mają wymiar równy <math>\scriptstyle \dim V - \dim W</math> i dla których zachodzi <math>\scriptstyle W^{\perp_\mathrm L \perp_\mathrm R} = W^{\perp_\mathrm R \perp_\mathrm L} = W.</math></ref> Podprzestrzeń ortogonalna jest [[przykłady przestrzeni liniowych|trywialna]], czyli dana przestrzeń nie ma niezerowych wektorów izotropowych, tzn. przestrzeń <math>\scriptstyle V</math> jest [[suma prosta modułów|sumą prostą]] <math>\scriptstyle W \oplus W^\perp,</math> wtedy i tylko wtedy, gdy forma dwuliniowa jest niezdegenerowana (jedynym anizotropowym wektorem [[przestrzeń unitarna|przestrzeni unitarnej]] jest [[wektor zerowy|zero]], gdyż dodatnia określoność iloczynu skalarnego pociąga jego niezdegenerowanie, zob. [[#Przykłady|przedostatni przykład]]). Wówczas dla dowolnych podprzestrzeni <math>\scriptstyle W_1, W_2</math> przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> jest <math>\scriptstyle (W_1 + W_2)^\perp = W_1^\perp \cap W_2^\perp</math> oraz <math>\scriptstyle (W_1 \cap W_2)^\perp = W_1^\perp + W_2^\perp</math> i zachodzi również <math>\scriptstyle \left(W^\perp\right)^\perp = W,</math> zaś podprzestrzeń <math>\scriptstyle W</math> jest niezdegenerowana wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle W^\perp</math> jest niezdegenerowana
Układ <math>\scriptstyle (\mathbf x_i)_i</math> wektorów przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> nazywa się ''ortogonalnym'', jeżeli dla dowolnych <math>\scriptstyle i \ne j</math> zachodzi <math>\scriptstyle \mathbf x_i \perp \mathbf x_j.</math> Dowolny układ ortogonalny wektorów anizotropowych jest [[liniowa niezależność|liniowo niezależny]]<ref>Jeśli <math>\scriptstyle \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_k</math> jest układem ortogonalnym, to zakładając <math>\scriptstyle \sum_{i=1}^k a_i \mathbf x_i = \mathbf 0</math> dla każdego <math>\scriptstyle j = 1, \dots, k</math> zachodzi <math>\scriptstyle \mathbf 0 \perp \mathbf x_j \Leftrightarrow \left(\sum_{i=1}^k a_i \mathbf x_i\right) \perp \mathbf x_j \Leftrightarrow \sum_{i=1}^k a_i (\mathbf x_i \perp \mathbf x_j) \Leftrightarrow a_j (\mathbf x_j \perp \mathbf x_j),</math> czyli <math>\scriptstyle a_j = 0.</math></ref>. W przypadku przestrzeni skończonego wymiaru wyposażonej w symetryczną formę dwuliniową jej bazę nazywa się ''ortogonalną'', jeżeli tworzy ona układ ortogonalny; każda skończeniewymiarowa przestrzeń ortogonalna nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę ortogonalną (wynika stąd, że każda macierz symetryczna przystaje do [[macierz diagonalna|macierzy diagonalnej]], zob. [[#Przykłady|ostatni przykład]]).
Jeśli podprzestrzeń ortogonalna przestrzeni nad ciałem charakterystyki różnej od 2 jest trywialna, to przekształcenie <math>\scriptstyle \mathrm O\colon \mathrm{PG}(V) \to \mathrm{PG}(V)</math> dane wzorem <math>\scriptstyle W \mapsto W^\perp,</math> gdzie <math>\scriptstyle \mathrm{PG}(V)</math> oznacza zbiór wszystkich podzbiorów przestrzeni <math>\scriptstyle V</math> tworzący [[przestrzeń rzutowa|przestrzeń rzutową]], nazywa się ''biegunowością ortogonalną'' na przestrzeni <math>\scriptstyle \mathrm{PG}(W).</math> W ten sposób powstają wszystkie biegunowości ortogonalne, a dwie symetryczne formy dwuliniowe indukują tę samą biegunowość wtedy i tylko wtedy, gdy są równe co do [[mnożenie przez skalar|mnożenia przez skalar]].
| |||