Szereg harmoniczny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Szeregi harmoniczne wyższych rzędów: pop. linku |
uogólnienie probabilistyczne |
||
Linia 39:
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = \ln 2.</math>
Wynika to na przykład z rozwinięcia funkcji [[logarytm naturalny]] w [[szereg Taylora]].
Szereg:
: <math>\sum_{n = 1}^\infty \epsilon_n\frac{1}{n}</math>
gdzie <math>\epsilon_n </math> to zmienne losowe przyjmujące z prawdopodobieństwem ½ wartości 1 i -1, jest zbieżny [[prawie na pewno]].
Wynika to z [[Twierdzenie Kołmogorowa o trzech szeregach|twierdzenia Kołmogorowa o trzech szeregach]], bo wartości bezwględne zmiennych są wspólnie ograniczone, wartości oczekiwane równe 0, a wariancje równe <math>\frac{1}{n^2}</math>, co jest szeregiem zbieżnym.
{{Przypisy}}
| |||