Przedział (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>(X,\preccurlyeq)</math> będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech <math>-\infty,\infty</math> będą dwoma obiektami nie należącymi do <math>X\,</math>. Rozszerzmy porządek <math>\preccurlyeq</math> na <math>X\cup\{-\infty,\infty\}</math> tak, by element <math>\infty</math> był większy niż wszystkie punkty z <math>X\,</math>, a element <math>-\infty</math> mniejszy niż wszystkie punkty z <math>X\,</math>.

 

* <math>(x,y):=\{z\in X: x \prec z \prec y\}</math> – '''otwartym''',

* <math>[x,y):=\{z\in X: x \preccurlyeq z \prec y\}</math> – '''lewostronnie domkniętym''' (prawostronnie otwartym),

== Przykłady ==

* Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]:

** <math>[2,e)\,</math> – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych <math>2\,</math>, ale mniejszych niż <math>e\,</math>,

** przedział nieskończony <math>(\pi,\infty)</math> to zbiór wszystkich liczb większych niż <math>\pi\,</math>.

* Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: <math>(-5,5)_{\mathbb Z}</math> jest zbiorem skończonym (jest to <math>\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\,</math>) ale <math>(-5,5)_{\mathbb Q}</math> jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział <math>(a,b]\,</math> pomiędzy liczbami rzeczywistymi <math>a,b\in \mathbb R</math> oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. <math>(a,b]_{\mathbb R}</math>, podobnie dla innych przedziałów.

* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb R^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez <math>\langle x_1,y_1\rangle \prec \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leqslant x_2</math> i <math>y_1\leqslant y_2</math>, gdzie relacja <math>\leqslant </math> jest naturalnym porządkiem na prostej <math>\mathbb R</math>. Wówczas przedział domknięty <math>\big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{{\mathbb R}^2}</math> jest domkniętem kwadratem o wierzchołkach w <math>\langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle</math>, tzn. zbiorem <math>\left\{\langle x,y\rangle\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant x \leqslant 1\ \and\ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}</math>.