Lagranżjan: Różnice pomiędzy wersjami

'''Lagranżjan''' (L, inaczej '''[[funkcja (matematyka)|funkcja]] [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange'a]]''') -– gęstość [[funkcjonał]]u działania S charakteryzującego właściwości mechaniczne [[układ fizyczny|układu fizycznego]].

Ruch układu w [[mechanika klasyczna|mechanice klasycznej]] opisywany jest za pomocą [[trajektoria|trajektorii]] q(t) podającej zależność położenia q od czasu t (q należy rozumieć jako współrzędne [[wektor|wektora]]a położenia w [[przestrzeń konfiguracyjna|przestrzeni konfiguracyjnej]] układu). Zgodnie z [[zasada najmniejszego działania|zasadą najmniejszego działania]] ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, aby pewien [[funkcjonał]] (operator na przestrzeni dopuszczalnych funkcji q(t)) S przyjmował najmniejszą możliwą wartość. Funkcjonał ten -– nazywany działaniem i oznaczany zwykle przez S -– ma postać [[całka|całki]], zaś całkowanie przebiega po czasie:

: <math>S[q] = \int\limits_{t_0}^{t_1} L(q(t),\dot{q}(t), t) dt</math>

We wzorze tym <math> L(q(t),\dot{q}(t), t) </math> to lagranżjan., a <math>\dot{q}</math> oznacza [[pochodna|pochodną]] <math>q</math> po czasie.

: <math> L(q(t),\dot{q}(t), t) = T(q(t),\dot{q}(t), t) - U(q(t),\dot{q}(t), t) </math>

Lagranżjan występuje też w [[Teoria pola (fizyka)|teorii pola]]. Jest w niej [[całka|całką]] po całej przestrzeni z '''gęstości lagranżjanu''' <math>\mathcal{L}</math> (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):