Krzywa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Znacznik: usuwanie dużej ilości tekstu (filtr nadużyć) |
m Wycofano edycje użytkownika 178.36.254.207 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to MerlIwBot. |
||
Linia 1:
{{disambigR|pojęcia matematycznego|[[Krzywa (ujednoznacznienie)|inne znaczenia tego słowa]]}}
{{spis treści}}
'''Krzywa''' – w [[matematyka|matematyce]] jedno z fundamentalnych pojęć takich dziedzin jak [[geometria]], czy [[geometria różniczkowa]]; stosowane również w mowie potocznej. Mimo intuicyjnej prostoty okazało się ono być bardzo trudne do ścisłego [[definicja|zdefiniowania]]. Poprawna definicja powinna obejmować „dowolną linię” (w szczególności na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] lub [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]]), w tym także [[prosta|linię prostą]], która mogłaby się rozgałęziać i przerywać.
== Definicje ==
===Definicje historycznie odleglejsze===
* Komentatorzy [[Euklides]]a określali ją jako „długość bez szerokości” oraz „ograniczenie powierzchni”. Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
* [[Kartezjusz]] definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne [[równanie]]. Definicja ta nie obejmuje jednak wszystkich przypadków.
* Kolejna definicja określała krzywą jako sumę skończonej liczby [[łuk krzywej|łuków]], z których żadne dwa nie mają wspólnych punktów oprócz swych końców. Okazało się jednak, że definicja ta nie obejmuje niektórych przypadków, np.
: <math>\left\{(x, y)\colon y = \sin \tfrac{2\pi}{x},\ 0 < x \leqslant 1\right\}</math> z dołączonym odcinkiem <math>\left\{(x, y)\colon x = 0,\ -1 \leqslant y \leqslant 1\right\}</math>.
===Definicje topologiczne===
Szereg definicji topologicznych używa pojęcią continuum (kontinuum) czyli przestrzeni zwartej i spójnej.
* [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] w [[XIX wiek]]u zdefiniował krzywą jako zbiór punktów płaszczyzny <math>\left(\varphi(t), \psi(t)\right)</math>, gdzie <math>\varphi</math> i <math>\psi</math> są [[funkcja ciągła|funkcjami ciągłymi]], zaś <math>t</math> jest parametrem przebiegającym [[przedział (matematyka)|przedział]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Innymi słowy krzywa to [[obraz (matematyka)|obraz]] przedziału (równoważnie: [[odcinek|odcinka]]) w [[funkcja ciągła|odwzorowaniu ciągłym]]. Okazało się wszakże, że definicja ta jest zbyt szeroka. W [[1890]] roku [[Giuseppe Peano]] pokazał, że obraz tak rozumianej krzywej może wypełniać [[kwadrat]] wraz z wnętrzem (tzw. [[krzywa Peano]]). Obecnie [[krzywa Jordana|krzywą Jordana]] nazywa się [[homeomorfizm|homeomorficzny]] obraz okręgu.
* Pod koniec [[XIX wiek]]u [[Georg Cantor]] podał następującą definicję: '''krzywa płaska''' to takie [[Continuum (topologia)|continuum]] na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]], które nie zawiera żadnego [[koło|koła]] o dodatnim promieniu. W przypadku płaszczyzny jest ona równoważna przytoczonej niżej definicji podanej przez Urysohna.
* Krzywą nazywa się [[Continuum (topologia)|continuum]] o [[wymiar (matematyka)|wymiarze]] 1. Innymi słowy jest to zbiór, w którym każdy jego [[punkt (geometria)|punkt]] ma dowolnie małe [[otoczenie (matematyka)|otoczenia]] o zerowymiarowym [[brzeg (matematyka)|brzegu]]. Jest to wtedy zbiór zwarty i spójny.
* Krzywą nazywamy continuum, w którym dla każdego jego punktu i dowolnego jego otoczenia istnieje pewne otoczenie wspomnianego punktu zawarte w poprzednim, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Definicja ta, sformułowana przez rosyjskiego matematyka [[Paweł Urysohn|Pawła Urysohna]], pochodzi z końca [[lata 20. XX wieku|lat 20. XX wieku]].
* Często przez krzywą rozumie się homeomorficzny obraz odcinka (domkniętego lub otwartego).
===Definicje geometryczne===
W przypadku geometrii różniczkowej definicje krzywej, jako obrazu odcinka otwartego przy odwzorowaniach różniczkowych, zakładają zawsze, że pierwsza pochodna jest różna od zera w każdym punkcie odcinka.
* Ważne klasy krzywych definiuje się nakładając dodatkowe warunki na funkcję <math>f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^2</math>, odwzorowującą przedział w płaszczyznę, na przykład dla [[funkcja różniczkowalna|funkcji różniczkowalnych]] otrzymuje się '''[[łuk regularny]]''', a dla [[funkcja przedziałami liniowa|przedziałami liniowych]] - '''[[linia łamana|linię łamaną]]'''.
* W geometrii różniczkowej płaszczyzny lub przestrzeni przez krzywą rozumie się na ogół odwzorowanie ''r'' razy różniczkowalne przedziału otwartego na płaszczyznę <math>f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^2</math> lub <math>f: (a, b) \rightarrow \mathbb{R}^3</math>, gdzie ''r''-ta pochodna jest ciągła (tak zwane krzywe klasy <math>\mathcal{C}^r</math>). Często, aby uniknąć dyskusji o klasie gładkości zakłada się, że funkcje te mają wszystkie pochodne (tak zwane krzywe klasy <math>\mathcal{C}^\infty</math>; oczywiście wtedy wszystkie pochodne są ciągłe). Obrazy tych funkcji nie są wtedy zwarte. <ref>{{cytuj książkę | nazwisko =Gancarzewicz | imię =Jacek | nazwisko2 =Opozda | imię2 =Barbara |tytuł =Wstęp do geometrii różniczkowej | wydawca =Wydawnictwo UJ | miejsce =Kraków | rok =2003 | strony =11 |isbn =83-233-1768-2 }}</ref>.
== Zobacz też ==
| |||