Wersja z 20:57, 27 cze 2013 edytuj Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9013 edycji →‎Definicja: drobne redakcyjne ← poprzednia edycja		Wersja z 23:36, 27 cze 2013 edytuj anuluj edycję 193.0.87.2 (dyskusja) drobne redakcyjne następna edycja →
Linia 7: Niech (''X''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> będzie [[rodzina zbiorów\|rodziną]] przestrzeni topologicznych, indeksowaną elementami pewnego zbioru ''I'' oraz niech : <math>X := \prod_{i \in I} X_i,</math> będzie (być może nieskończonym) [[iloczyn kartezjański\|iloczynem kartezjańskim]] rodziny zbiorów ''X''<sub>''i''</sub> (''i'' ∈ ''I''). Dla każdego ''i''<sub>0</sub>'' ∈ ''I'' wzór : p<sub>''i''<sub>0</sub></sub>(''x'') = ''x''<sub>''i''<sub>0</sub></sub>, ~~:<math>\mbox{pr}_{i_0}\big( (x_i)_{i\in I} \big) = x_{i_0}\;\;\;\big((x_i)_{i\in I} \in X \big)</math>~~ gdzie ''x'' = (''x<sub>i</sub>'')<sub>''i'' ∈ ''I''</sub> ∈ ''X'', określa funkcję -p<sub>''i''<sub>0</sub></sub>: ''~~rzutowanie~~X'' ~~kanoniczne~~→ ''X''<sub>''i''<sub>0</sub></sub> nazywaną ''rzutowaniem kanonicznym'' na współrzędną o indeksie ''i''<sub>''0''</sub> -. ~~:<math>\mbox{pr}_{i_0}\colon X\to X_{i_0}.</math>~~ '''Topologią produktową''' (albo '''topologią Tichonowa''') w ''X'' nazywa się [[porównanie topologii\|najmniejszą]] (najuboższą, najsłabszą) topologię w zbiorze ''X'' względem, której wszystkie rzutowania prp<sub>''i''</sub> (''i'' ∈ ''I'') są [[funkcja ciągła\|ciągłe]]. Równoważnie, topologię produktową w ''X'' można wprowadzić poprzez zadanie [[Baza przestrzeni topologicznej\|bazy]] składającej się ze zbiorów postaci :<math>\~~mbox{pr}_~~mathrm p_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap \~~mbox{pr}_~~mathrm p_{i_n}^{-1}(U_{i_n}),</math> gdzie ''i''<sub>1</sub>, ~~...~~…, ''i''<sub>''n''</sub> ∈ ''I'' jest dowolnym skończonym zbiorem indeksów, a zbiory ''U''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub> są otwarte w ''X''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub>. Innymi słowy, każdy zbiór otwarty w ''X'' jest sumą pewnej (możliwe, że nieskończonej) rodziny zbiorów powyższej postaci. ~~Jeszcze inaczej, topologię~~Topologię produktową w ''X'' można wprowadzić także poprzez zadanie [[Baza przestrzeni topologicznej\|bazy]] składającej się ze zbiorów postaci :<math>\prod_{i \in I} U_i</math>, gdzie każdy ze zbiorów ''U''<sub>''i''</sub> jest otwarty w ''X''<sub>''i''</sub>, ~~oraz~~a zbiór {''i'' ∈ ''I'': ''U<sub>i</sub>'' ≠ ''X<sub>i</sub>''} jest skończony. ~~:<math>\{i\in I\colon U_i\neq X_i\}</math>~~ ~~jest skończony.~~ == Przykłady == Linia 34 ⟶ 31: Przestrzeń produktowa <math>\scriptstyle X,</math> wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej [[własność uniwersalna\|własności uniwersalnej]]: jeżeli <math>\scriptstyle Y</math> jest przestrzenią topologiczną i dla każdego <math>\scriptstyle i \in I</math> funkcja <math>\scriptstyle f_i\colon Y \to X_i</math> jest przekształceniem ciągłym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekształcenie ciągłe <math>\scriptstyle f\colon Y \to X,</math> że dla każdego <math>\scriptstyle i \in I</math> następujący diagram jest [[diagram przemienny\|przemienny]]: [[Plik:CategoricalProduct-02.png\|center\|Własność charakterystyczna przestrzeni produktowych]] Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest [[produkt (teoria kategorii)\|produktem]] w [[kategoria przestrzeni topologicznych\|kategorii przestrzeni topologicznych]]. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie <math>\scriptstyle f\colon Y \to X</math> jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\scriptstyle f_i = \mathrm p_i \circ f</math> jest ciągłe dla każdego <math>\scriptstyle i \in I.</math> W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych <math>\scriptstyle f_i</math> bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia <math>\scriptstyle g\colon X \to Z;</math> w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości <math>\scriptstyle \mathrm p_i.</math> Ciągłe przekształcenia <math>\scriptstyle \mathrm p_i\colon X \to X_i</math> są także [[odwzorowania otwarte i domknięte\|otwarte]], tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na <math>\scriptstyle X_i</math> pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli <math>\scriptstyle W</math> jest [[Topologia podprzestrzeni\|podprzestrzenią]] przestrzeni produktowej, dla której wszystkie rzuty na <math>\scriptstyle X_i</math> są otwarte, to <math>\scriptstyle W</math> nie musi być otwarta w <math>\scriptstyle X</math> (np. <math>\scriptstyle W = \mathbb R^2 \setminus (0, 1)^2</math>). W ogólności rzuty kanoniczne nie są [[odwzorowania otwarte i domknięte\|przekształceniami domkniętymi]] (kontrprzykładem może być zbiór domknięty <math>\scriptstyle \{(x,y) \in \mathbb R^2\colon xy = 1\},</math> którego rzutami na obie osie są <math>\scriptstyle \mathbb R \setminus \{0\}</math>). Topologię produktową nazywa się także ''topologią [[granica funkcji\|zbieżności punktowej]]'', co wynika z następującej obserwacji: [[ciąg (matematyka)\|ciąg]] (także [[ciąg uogólniony\|uogólniony]]) w <math>\scriptstyle X</math> jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na <math>\scriptstyle X_i.</math> W szczególności, jeśli <math>\scriptstyle X = \mathbb R^I</math> wszystkich funkcji o wartościach [[liczby rzeczywiste\|rzeczywistych]] określonych na <math>\scriptstyle I,</math> to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji. Linia 72 ⟶ 69: Niech <math>\scriptstyle (X_i, \tau_i),</math> gdzie <math>\scriptstyle i \in I</math> będą [[przestrzeń topologiczna\|przestrzeniami topologicznymi]]. Wówczas w ''m''-produkcie przestrzeni <math>\scriptstyle X_i</math> można wprowadzić topologię zadaną przez [[podbaza\|podbazę]] postaci : <math>\bigl\{\mathrm p_i^-(U_i),\; \mathrm p_i^+(U_i)\colon i \in I \mbox{ oraz } U_i \in \tau_i\},</math> gdzie <math>\scriptstyle \mathrm p</math> oznacza rzut kanoniczny. == Zobacz też ==

Topologia produktowa: Różnice pomiędzy wersjami